Documentation > Géométrie et structure
Introduction générale à la documentation

Images Fractales
Une introduction pour les curieux et les non-connaisseurs

Alain Boudet

Dr en Sciences Physiques, Thérapeute psycho-corporel, Enseignant

Résumé: Les fractales sont des images de synthèse obtenues par un procédé de construction graphique très simple répété sur une large gamme d'échelles. Certaines reproduisent l'apparence de paysages et sont utilisées comme décors synthétiques. Les scientifiques ont utilisé cette propriété pour modéliser certains aspects de la nature et de la matière. D'autres fractales présentent une dimension esthétique remarquable qui a été exploitée par les artistes et les graphistes.

Contenu de l'article


Les fractales sont des images qui présentent certaines caractéristiques précises et c'est donc par l'image que nous allons faire connaissance avec elles.
Windtree de Cory Ench, 1999

ill.1- Arbre du vent, 1999
Fractale créée par ordinateur, simulant une croissance végétale
Création ©Cory Ench

Si vous cherchez à savoir la signification du mot fractale, vous trouverez difficilement des textes abordables par des non-connaisseurs car la plupart reposent sur la description de définitions et de procédés, selon les méthodes habituelles de l'enseignement académique. Or ce qui nous intéresse vraiment dans toute connaissance, c'est son essence, autrement dit en quoi elle nous touche.

Aussi, tels des téléspectateurs qui apprécient des images sans avoir étudié les circuits électroniques de l'appareil, nous découvrirons les fractales de façon visuelle, sensorielle. Cet article ne comporte aucune formule mathématique, bien que par nature, les fractales soient un concept mathématique. Ceux qui connaissent ce langage pourront trouver des développements mathématiques précis dans les sites spécialisés indiqués.

Ce qui me touche, c'est la beauté de certaines de ces images. Elles ont inspiré de nombreux artistes qui ont contribué à les faire connaitre de façon populaire. J'ai également pris plaisir à l'aspect ludique du jeu des constructions graphiques.

Une autre caractéristique m'a étonné: les fractales ont la capacité de mimer de nombreuses formes de la matière, minérales, végétales et animales, et de simuler des paysages.

Si des artistes et graphistes ont largement exploité cette particularité, les scientifiques en ont également fait un usage novateur. Les sciences de la matière et de la nature se sont emparées des calculs fractals pour modéliser certains types de structures de matière, c'est-à-dire à les représenter par des équations mathématiques afin d'étudier leur caractéristiques.

Ramifications et répétition

Les fractales sont des images élaborées sur une base géométrique (ou topologique), comportant des ensembles de points, de lignes, ou de surfaces qui sont reliés entre eux selon des règles précises. Ces dessins sont calculés mathématiquement et peuvent être représentés graphiquement sur écran d'ordinateur.

Pour comprendre ce que signifient les liens entre lignes, nous allons prendre comme exemple le dessin d'un arbre généalogique, par exemple celui des descendants d'un couple. Plus que le contenu de chacune des cases, ce qui nous intéresse ici, c'est la façon dont elles sont connectées. Chaque case est suivie d'une ligne, sauf en cas d'absence d'enfant, et cette ligne comporte un embranchement s'il y a eu plusieurs enfants. Ce qui nous emmène sur la voie des fractales, c'est d'abord cette suite d'embranchements, cette ramification.

ill. 2- Arbre généalogique

Une caractéristique typique est le fait que cette ramification se répète d'une génération à l'autre, et cela jusqu'à l'infini, sauf si la lignée s'éteint faute d'enfants. En outre, cette répétition se fait selon des règles précises. Dans certains cas, la règle peut être très simple, par exemple tout le monde a deux enfants. Elle peut être plus complexe, avec un choix entre 0 et 8 enfants (par exemple), de façon assez cyclique ou répétitive, ou complètement aléatoire.

Un tel diagramme construit selon une règle simple répétitive constitue l'ébauche d'une image fractale.

Chou-fleur et fougère

Une fougère fractale

ill.3- Une fougère fractale modélisée
Merci à Wikipedia

Observant un chou-fleur coupé en deux, nous constatons que les branches principales se ramifient en plusieurs branches plus petites. Chacune de ces branches se ramifie à son tour et ainsi de suite pendant 5 à 8 fois. Dans cet "objet" naturel, nous retrouvons la ramification et la répétition. Un caractère nouveau s'est introduit: chaque division s'accompagne d'une réduction de la taille des branches.

Examinons une fougère, nous retrouvons exactement le même phénomène. La tige centrale se ramifie en branches plus petites qui se ramifient à leur tour et ainsi de suite, avec chaque fois une réduction d'échelle. Et cela est tellement répétitif et régulier que les mathématiciens ont pu modéliser la fougère, c'est-à-dire construire un dessin de fougère calculé entièrement par ordinateur (ill.3). De même que le chou-fleur, la fougère procède à un nombre limité de ramifications. Par contre, le calcul peut se poursuivre à l'infini. On peut imaginer les rameaux les plus fins se ramifiant à leur tour en tiges tellement fines que l'oeil ne les voit plus ou que l'ordinateur ne peut plus les afficher.

Nous pouvons repérer des caractéristiques communes à ces exemples, qui constituent l'essence des fractales. En premier lieu, un processus de construction graphique, c'est-à-dire une façon d'élaborer l'image par une construction répétitive qui leur confère la même organisation, la même structure divisée. Les fractales sont des images divisées ou fragmentées, dont l'arborescence est un type. Que l'on parle d'arbre généalogique, de fougère ou de chou-fleur, nous retrouvons une arborescence. Il est intéressant de noter que la terminologie souligne cet aspect: arborescence signifie à la façon d'un arbre, embranchement évoque les branches et ramification les rameaux. Mais ces branches théoriques ne sont pas habillées de la même matière: traits d'écriture ou végétal.

En deuxième lieu, nous trouvons dans la fougère et le chou-fleur cette particularité étonnante: on voit quasiment la même figure à grande échelle avec les grandes branches ramifiées et à petite échelle, avec les rameaux les plus fins. L'examen des cours d'eau va nous permettre d'illustrer cet aspect de façon encore plus frappante.

Fleuves et changements d'échelle

La nature nous offre bien d'autres exemples de structures qui se reproduisent sur une vaste gamme d'échelle. Examinons la disposition du bassin du fleuve Amazone (ill.4a). Si l'on imagine qu'on le remonte à partir de son embouchure, il se ramifie en ses affluents. Sur une photographie aérienne à grande échelle, on distingue le fleuve et ses affluents, mais les petits ruisseaux ne sont pas visibles. En augmentant le grossissement, les affluents se révèlent eux aussi ramifiés par les ruisseaux. En grossissant encore, les ruisseaux sont visibles avec leurs ramifications en ruisselets. On a donc le même type de structure que pour la fougère, mais à une échelle beaucoup plus grande puisque le bassin couvre des milliers de kilomètres.

Or, on peut constater que le même schéma de ramification se produit pour des rivières bien plus petites, dont le bassin couvre seulement quelques kilomètres (ill.4b). Et on peut prolonger le raisonnement à des échelles bien plus petites encore. Car les ruisselets sont alimentés par des filets d'eau, qui existent peut-être seulement lors des averses et on peut constater le tracé tortueux et ramifié de l'eau qui dévale entre les grains de terre.

Amazone b Sabino

ill.4- Les réseaux fluviaux ont la même forme arborescente,
qu'on les observe à l'échelle de milliers de kilomètres (a: réseau de l'Amazone)
ou à celle de quelques kilomètres (b: réseau du Sabino en Arizona)
d'après C. Allègre, Sciences et Vie, 1995

Cet exemple met en avant un caractère essentiel de ces images. Les fractales ont la même apparence quelle que soit l'échelle d'observation. Une photographie de l'objet ne permet donc pas de deviner à quelle échelle elle a été prise. Bien sûr, pour comprendre ce phénomène, il faut garder à l'esprit qu'on ne voit pas tous les détails de l'image parce que notre vision est limitée en résolution. Pour les voir, nous devons grossir l'image et réduire l'étendue du champ d'observation.

Ces images issues de la nature ne se révèlent identiques pour toutes les échelles que parce que l'on néglige certains aspects. La similitude des images des bassins fluviaux à différentes échelles n'est pas parfaite. Dans notre description, nous n'avons tenu compte que de l'organisation du réseau, des liens et situations relatives des branches ou affluents. Nous n'avons pas considéré la matière dont est constitué le réseau, à savoir l'eau, avec son mouvement, sa couleur, etc., pas plus que les rives faites de terre, de rochers et de végétaux. La modélisation d'objets réels par une structure fractale mathématique ne peut donc être qu'approchée. Elle laisse de côté certains aspects de la réalité. Mais elle en décrit étonnamment bien l'ossature.

Excroissances dans un carré et un triangle

Nous quittons le monde réel et nous allons nous amuser à inventer des formes selon le principe de division et ramification par une règle de construction répétitive. Alors, l'imagination n'a pas de limites. Cela ressemble au jeu auquel nous jouions enfants: nous pliions un papier en 2 un grand nombre de fois, puis nous découpions des formes dans le petit carré obtenu. Lorsque nous le dépliions, nous nous émerveillions de la dentelle qui se déployait. Ici, au lieu de plier un papier réel, nous répétons un procédé de construction graphique, et nous allons découvrir peu à peu la figure qui en émerge.

Délaissant les branches des dessins précédents, nous allons utiliser un procédé de ramification qui crée des bosses. De plus, tandis que les ramifications précédentes formaient un éventail avançant dans une direction, nos excroissances s'étendent maintenant dans toutes les directions du plan.

Partons d'un carré que nous traçons assez grand. Nous lui accolons des petits carrés aux coins extérieurs, que nous choisissons 3 fois plus petits (ill.5a). Appliquant à nouveau cette règle de construction à chacun de ces petits carrés, nous accolons des petits carrés 3 fois plus petits à chacun de leurs trois coins extérieurs (ill.5b). Nous répétons une troisième fois (ill.5c). La fractale se développe lorsqu'on poursuit ce processus.

a b c

ill.5- Exemple de construction fractale (a) Un carré est orné de petits carrés 3 fois plus petits en ses coins saillants (b) chacun de ces petits carrés se voit à son tour doté en ses trois coins saillants de 3 autres carrés 3 fois plus petits (c) on recommence le processus indéfiniment, mais la limite de résolution de notre vision ne nous permet pas de distinguer les détails trop fins

Par l'esprit, nous pouvons envisager que le processus se poursuit indéfiniment, mais en pratique, nous devons nous arrêter à un certain moment. Car de la même façon que nous n'avons pas pu plier le papier plus de quelques fois, arrêtés par l'épaisseur de la feuille, nos carrés vont rapidement devenir plus petits que l'épaisseur du trait du papier ou de l'écran.

Si nous dessinons sur l'écran de l'ordinateur comme les illustrations de cet article, l'épaisseur minimum du trait est d'un pixel (sur la définition d'un pixel, voir article Nature de la couleur). Pour voir les carrés plus petits, il suffit de demander à l'ordinateur de grossir la figure. Il n'a pas de limite de grossissement et le dessin n'est jamais fini. Une caractéristique des fractales est qu'elles ne sont jamais terminées. En pratique, on demande à l'ordinateur de s'arrêter lorsqu'il a atteint une certaine condition ou un critère suggéré par l'usage pratique que l'on en fera.

Fragmentation

Prenons le temps d'examiner cette construction. A chaque étape, les nouveaux carrés rendent la bordure plus découpée, avec de plus en plus d'excroissances, séparées par des anfractuosités. L'aspect fractionné constitue un aspect primordial des fractales, et c'est ce qui leur a valu leur nom de la part du chercheur qui les a créées et étudiées, Benoît Mandelbrot. Un objet fractal possède une structure divisée, formée de domaines compacts de tailles variables, séparés par des vides de tailles variables.

Le fractionnement est obtenu par la répétition à l'infini d'une règle de construction, mais celle-ci est entièrement libre et ne dépend que de l'imagination de l'auteur. Ajoutons le libre choix de la forme de départ, par exemple triangle ou carré ou n'importe quel polygone, et on se rendra compte de l'immensité du champ de création.

Des fractales
dans les champs

Chaque année en été, dans les champs du sud de l'Angleterre, on découvre des dizaines de dessins imprimés dans les cultures dont on ne connait pas les auteurs. Ces dessins de 40 à 300 mètres d'envergure environ ont des formes géométriques très précises. Certains d'entre eux reproduisent des fractales célèbres (voir Diagrammes dans les champs).

Cercle de culture 1

Voici la réplique de notre fractale carrée, accompagnée en pourtour de petits cercles, apparue le 4 aout 1999 dans un champ de blé. Envergure environ 100 m. Les nuances plus ou moins claires résultent des différences de courbure des épis. Les traces parallèles sont celles des roues de tracteur (cliché Steve Alexander).

cercle de culture 2

Réplique du Flocon de Koch, apparue à Silbury Hill, le 23 juillet 1997. Envergure 90 m. Il est flanqué de 126 cercles repartis tout autour. (Cliché Lucy Pringle - Cliquez sur l'image pour le voir en grand, avec la campagne environnante)

Un autre Flocon de Koch est apparu la même année, le 7 aout à Milk Hill. Il comporte une décoration intérieure.

Un autre Flocon de Koch, apparu le 26 juillet 2007 à Chute Hill présente la particularité d'être construit sur la base d'une étoile à 5 branches.

La première fractale qui fut repérée était une réplique de l'ensemble de Mandelbrot à Ickleton, le 12 aout 1991. On n'en possède pas de vue aérienne.

Cercle de culture 3

Cet ensemble de Julia, apparu à Stonehenge le 7 juillet 1996, a une envergure de 270 m et est constitué de 151 cercles (cliché Steve Alexander).

On a pu voir également un magnifique triple ensemble Julia de 220 m comportant 194 cercles, apparu à Windmill Hill le 19 juillet 1996.

Le flocon de neige de Koch

Avant même que la notion de fractale ne soit inventée, un mathématicien suédois du nom de Von Koch avait étudié en 1904 une figure fractale basée sur un triangle, qui en se fractionnant prend l'aspect d'un flocon de neige.

Dessinons un triangle équilatéral (par exemple de 27 cm pour mieux comprendre la suite). Au milieu de chacun des côtés, accolons un nouveau triangle 3 fois plus petit. Nous obtenons une étoile à 6 sommets dont le périmètre est composé de 12 côtés (de 9 cm). Il y a aussi 6 creux ou angles rentrants. Répétant le procédé sur chacun des 12 côtés, nous accolons un triangle 3 fois plus petit sur leur tiers central, et nous obtenons 48 côtés de 3 cm, 18 sommets et 30 anfractuosités. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

ill.6- Construction du flocon de Koch
d'après le site CV Conseils

Paysages fractals

Les exemples de la fougère, du chou-fleur, des fleuves, du flocon de neige nous montrent que de nombreuses formes naturelles sont construites approximativement sur le modèle de structures fractales. C'est le cas chaque fois que ces formes sont fractionnées ou enchevêtrées et que leur structure est semblable sur une gamme d'échelles étendue. On trouve ces caractéristiques dans la matière qui résulte d'un processus de croissance, développement, agglomération ou concrétion: arbres, vaisseaux sanguins, nuages, galaxies et matière interstellaire.

Modélisation et compression d'image

Ces formes de la nature peuvent être modélisées par ordinateur (ill.3). Les artistes peuvent par ce moyen inventer des paysages irréels ou surréalistes (ill.1).

Une image numérique est faite de rangées et colonnes de points avec une certaine couleur et une certaine brillance. Normalement, lorsque vous enregistrez une image ou que vous l'envoyez par courriel, le fichier comporte les valeurs de tous ces points et c'est pourquoi les fichiers images sont parfois bien volumineux (article Nature de la couleur). Or, en ce qui concerne les images fractales, cela devient bien plus simple, bien plus léger. Il suffit de donner la règle de construction répétitive (on dit le procédé itératif) et l'ordinateur recalcule les valeurs des points au moment de l'affichage.

Pour cette raison, des techniques mathématiques utilisant les fractales ont été utilisées pour la compression d'image, c'est-à-dire pour en réduire le volume. Les jeux vidéos et le cinéma y font souvent appel pour la création de paysages synthétiques tels que montagnes ou arbres.

L'intervention du hasard

Montagne de Jean-François Colonna

ill.7- Montagne fractale
Création © Jean-François Colonna

Pour créer de façon synthétique des paysages de rochers et de montagnes (ill.7), il faut faire appel à un autre type de procédé de construction numérique, qui fait intervenir le hasard.

Nous partons d'un triangle, comme pour le flocon. Nous le fractionnons en 4 triangles 4 fois plus petits, en joignant les milieux de chaque côté (exemple ill.8, deuxième étape). La règle répétitive consiste à déplacer chacun de ces triangles vers le haut ou vers le bas de façon aléatoire. On fixe une distance maximum de déplacement. Et on recommence avec ces 4 nouveaux triangles...

On peut inventer d'autres types de déplacement des éléments de l'image afin de créer d'autres types de paysages, tels que nuages, liquides, lignes de côtes, etc. Mais l'élément nouveau important est le caractère aléatoire de ce déplacement. Il s'agit donc d'une deuxième catégorie d'images fractales, la première catégorie étant fondée sur une règle de répétition déterminée.

Il est surprenant et même paradoxal que des procédés de calculs très simples puissent recréer des paysages naturels aussi complexes que montagnes, végétaux ou cours d'eau. Cela montre que derrière un désordre et une complexité apparente, peut se cacher une information toute simple. Certains avancent que l'ADN lui-même pourrait coder des processus de croissance et de division, non pas en donnant le plan final obtenu, mais le procédé de construction.

Matière poreuse et agglomérats

Revenons aux procédés répétitifs déterminés, et constatons que dans les cas précédents, ramifications et excroissances concernent des lignes que nous allongeons. Or pourquoi ne pas ajouter ou enlever aussi des surfaces et des volumes? C'est ce qu'a étudié au début du vingtième siècle le mathématicien polonais Wac?aw Franciszek Sierpi?ski avant que ne soit précisée la notion de fractale, à partir d'un triangle ou d'un quadrilatère. Voici un exemple de trous effectués dans un triangle.

Sierpinski

ill.8- Triangle de Sierpi?ski. Merci à Wikipedia

Partant d'un triangle équilatéral (les 3 côtés ont la même longueur), nous le divisons en 4 triangles en joignant les milieux des côtés. Le trou sera le triangle central, représenté en blanc sur l'illustration. Nous appliquons à nouveau ce procédé à chacun des 3 triangles noirs restants. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Chaque étape enlève un quart de la surface restante.

Il est possible de réaliser le même type d'opération sur un cube ou autre forme en volume (voir les belles représentations en perspective du site Les Fractales).

Creuser des trous en volume, c'est imiter des matières poreuses ou creusées de galeries. C'est pourquoi ces objets ont été utilisés par des scientifiques pour modéliser des matières poreuses, granulaires, filamenteuses, des gels, etc. Les mathématiciens étudient l'objet mathématique pour lui-même, et en font ressortir tous les aspects ou caractéristiques. Les physiciens ou chimistes transposent ces caractéristiques sur la matière qu'ils étudient et peuvent en tirer des conclusions et des prévisions sur certaines propriétés de la matière, par exemple leur résistance mécanique, leur élasticité, leur conductivité électrique, etc. Notons qu'on ne peut parler de caractère fractal de la matière que si sa structure est (approximativement) identique à toutes les échelles. Autrement dit si elle comporte des vides de toutes les tailles répartis dans sa masse.

La modélisation par des fractales est remarquable par le fait qu'elle a clairement mis en lumière la portée du caractère divisé et connecté de nombreux systèmes, indépendamment de leur nature. La théorie des fractales relie, rassemble et transcende des disciplines indépendantes très différentes en mettant en commun leur aspect fractionné et autosimilaire (structure semblable à toutes les échelles). Elle a été employée pour décrire des systèmes relevant de la physique, la chimie, mais aussi de la biologie, l'astrophysique, l'hydraulique, la météorologie, l'économie et la sociologie.

Classer les points d'un terrain en catégories

Nous abordons maintenant une troisième catégorie de fractales qui, tout en conservant le principe de répétition et d'autosimilarité, font appel à un autre procédé d'élaboration. Il consiste à séparer les points du plan en deux classes selon un critère particulier. Ceux qui sont en accord avec ce critère sont retenus dans une classe et représentés (par exemple) en noir. Les autres constituent l'autre classe et restent en blanc.

Tracer une frontière

Imaginons ce plan comme un immense terrain plat, style terrain de foot bien entretenu. Une façon ludique de le diviser en deux surfaces est d'imaginer que ce terrain n'est pas parfaitement plat et que vous distinguez les parties qui sont plus élevées (que vous dessinez en noir sur une carte) de celles qui sont plus en creux (dessinées en blanc). Par exemple, si vous versez de l'eau sur le terrain pour faire une grande flaque, vous dessinez la flaque avec tous ses contours.

Vous avez la liberté de choisir la limite de hauteur entre les deux, donc la quantité d'eau, quelques centimètres ou quelques millimètres. Au début, vous tracez une frontière approximative entre parties élevées et parties basses. Puis vous cherchez à être plus précis avec une vue plus proche. Or, au fur et à mesure que vous gagnez en précision, la frontière se complique, se creuse d'anfractuosités ou montre certaines avancées très découpées. C'est là que se révèle son caractère fractal: aspect divisé et similitude à différentes échelles. Remarquez qu'il n'y a pas à proprement parler de répétition dans la découverte. Elle est remplacée par une vision de plus en plus précise.

Distinguer les points

En choisissant un critère de classement fondé sur une caractéristique naturelle du terrain, son relief, nous sommes restés proches des sujets précédents. Imaginons maintenant un terrain parfaitement plat comme une feuille blanche ou un écran d'ordinateur. Comment allons-nous classer des points qui sont totalement identiques? C'est là où les mathématiques entrent en scène.

Il faut d'abord doter le plan de deux points de repère: l'un marquera un centre, qu'on peut matérialiser par un poteau; l'autre est une direction, le nord. Dès lors tous les points sont repérés par leur distance au centre et leur orientation par rapport au nord. Ce sont leurs coordonnées. Chaque point devient unique et peut être classé dans une catégorie ou une autre selon ses coordonnées. Par exemple, on peut décider que tous les points éloignés de moins d'un mètre du poteau sont dans la classe noire et tous les autres dans la classe blanche (la couleur de la page ou du fond d'écran). La figure obtenue est vraiment simple: c'est un disque noir de 1 m de rayon. Mais ce disque n'a rien d'une structure fractale. Pour élaborer des fractales par cette voie, il faut suivre le cerveau de mathématiciens du vingtième siècle qui ont étudié des critères de classement beaucoup plus sophistiqués.

Ensemble de Mandelbrot

Ensemble de Mendelbrot

ill.9- Ensemble de Mandelbrot

C'est le cas d'un ensemble célèbre, étudié d'abord par Douady et Hubbard en 1982, appelé ensemble de Mandelbrot en l'honneur du fondateur de la notion de fractale qui a retravaillé sur cet ensemble avec un ordinateur, outil dont ne bénéficiaient pas ses prédécesseurs. Le critère de classement repose sur un déplacement déterminé que l'on fait subir aux points.

Prenons un point au hasard dans le plan, que l'on peut matérialiser par une petite balle. Traçons un cercle autour du point central. On se donne un règle du jeu, un déplacement déterminé. Si on arrive à faire sortir la balle du cercle au bout d'un certain nombre de ces déplacements, le point initial est relégué dans la classe blanche. Ceux qui restent dans le cercle malgré un très grand nombre de déplacements accédent à la classe noire.

Comment ce déplacement est-il déterminé? Par le calcul des nouvelles coordonnées. On peut choisir que la distance au centre est augmentée de 12%, et que l'orientation par rapport au nord est augmentée de 4°. La balle se trouve à un nouvel emplacement. On recommence l'opération avec le même calcul et elle arrive à une troisième emplacement.

L'exemple choisi est tellement simple qu'on arrive à faire sortir toutes les balles au bout d'un certain nombre de coups. En réalité, le calcul des nouvelles coordonnées dans le cas de l'ensemble de Mandelbrot est beaucoup plus compliqué (ill.9). C'est une fonction mathématique, et c'est dans la nature et la forme de cette fonction de transformation que réside l'originalité de l'ensemble et l'imagination de son auteur. C'est le type particulier de cette fonction qui confère à la frontière entre les deux classes sa nature fractale.

Catégories multiples et couleurs

Pourquoi l'illustration 9 présente-t-elle des couches autour de l'ensemble noir? Parce qu'on peut classer les points en plusieurs catégories au lieu de 2 seulement. Parmi les points qui ne font pas partie de l'ensemble parce que les déplacements successifs les expulsent du cercle, il y en a qui mettent plus de temps à être expulsés que d'autres. Ils méritent une couleur propre. On peut ainsi classer les points selon le nombre de déplacements nécessaire pour qu'ils sortent du cercle. Par exemple, une catégorie spéciale pour ceux qui nécessitent 1 seule opération. Dans la deuxième, les points expulsés au bout de 2 à 10 opérations, etc...

Mendelbrot animé

ill.10- Ensemble de Mandelbrot
Merci à Fractal eXtreme

A chaque catégorie est attribuée une couleur différente, au choix du créateur, qui peut être aussi une nuance de gris. Voilà pourquoi nous bénéficions de si belles images multicolores.

Le grossissement

Examinons l'ensemble de Mandelbrot plus attentivement. Son caractère fractal se manifeste dans le tracé détaillé de la frontière de la zone noire. Nous remarquons de nombreux renflements tout autour de la forme centrale. En grossissant, de nouveaux détails apparaissent (ill.10). A chaque changement d'échelle, de nouveaux petits bulbes sont visibles (voir l'image interactive du site Syti)

L'ensemble de Julia

L'ensemble de Julia, du nom du mathématicien qui l'a étudié en 1918 en même temps qu'un autre du nom de Fatou, est un autre exemple d'images fractales obtenues par ce procédé. La fonction de transformation est seulement légèrement différente de celle de l'ensemble de Mandelbrot. Mais cette légère différence produit des résultats d'un esthétisme incomparable.

Jean-Pierre Louvet

spirale

ill.11- Ensemble de Julia
Création © J.P. Louvet

ill.12- Création en spirale

Notion de dimensionnalité

Ayant fait le tour de la description des images fractales, nous allons maintenant entrer dans le domaine des dimensions et des mesures car les fractales présentent sur ce point une particularité remarquable qui a surpris et excité les mathématiciens qui les étudiaient. Les fractales ont une dimensionnalité fractionnaire. Pour comprendre cela, il faut juste dire quelques mots sur ce qu'est la dimensionnalité.

champ à 2 dimensions

Un champ est une surface à deux dimensions. Pour indiquer la position d'un piquet dans ce champ, on doit fournir deux repères, par exemple ses distances par rapport à deux côtés.

Prenons un objet familier, par exemple un morceau de tissu d'une longueur de 1 mètre. Si nous doublons sa longueur, il pèse 2 fois plus et coute 2 fois plus cher. Si nous doublons sa longueur et sa largeur, sa surface va être 4 fois plus grande, il va peser 4 fois plus et couter 4 fois plus cher. 4, c'est-à-dire 2x2 qu'on écrit 2 puissance 2 ou 22 parce qu'il y a 2 dimensions qui sont doublées, la longueur et la largeur. De même, si nous prenons une pièce de maison de 5mx5m, et une autre de 10mx10m, la deuxième a 4 fois plus de surface, donc 4 fois plus de volume à chauffer. Mais si on double également sa hauteur de plafond, c'est un volume 8 fois supérieur qu'il faut chauffer, soit 2x2x2 ou 23 car les volumes ont trois dimensions (en abrégé, à 3D), longueur, largeur et hauteur.

Récapitulons: Une ligne possède une seule dimension. Ici, le mot dimension ne se réfère pas à la taille de l'objet, et l'on dira aussi que sa dimensionnalité est 1. Elle est 2 pour une surface, et elle est 3 pour un volume.

Or, la dimensionnalité des fractales n'est pas un nombre entier tel que 2 ou 3, mais un nombre fractionnaire ou décimal tel que 2,7. Pour calculer la dimensionnalité d'un objet dessiné sur une surface, on multiplie sa taille par n'importe quel nombre simple n et on mesure de combien sa surface a augmenté. Par exemple  la dimension d'un disque est 2 parce que si on multiplie le diamètre par n, sa surface augmente de n2. En ce qui concerne la courbe de Koch, nous ajoutons des petits triangles à chaque étape d'itération, ce qui multiplie sa longueur par 4/3, alors que la surface totale bouge peu. Or d'itération en itération, la courbe finit par occuper une part importante de la surface du triangle. Elle est intermédiaire entre une ligne et une surface. Par des définitions mathématiques rigoureuses, on peut calculer que sa dimensionnalité est 1,26, donc entre 1 et 2.

C'est essentiellement au travers de la notion de dimensionnalité que les fractales ont vu le jour. À partir des années 1870, les mathématiciens se penchent vers des objets mathématiques surprenants dont la dimension semble être à mi-chemin entre le point et la droite, tel que l'ensemble appelé la poussière de Cantor. Certains ont reconsidéré la définition habituelle de la dimensionnalité, tels Hausdorff (1919) et Besicovitch (1935).

Ce n'est qu'au milieu du 20e siècle que ces ensembles sont baptisés fractale par le mathématicien Benoît Mandelbrot, un chercheur franco-américain. C'est lui qui a créé le concept en rassemblant des éléments épars et en extrayant leurs caractères communs. Il a également compris l'intérêt de tels objets mathématiques pour décrire les objets ou phénomènes naturels, tels que les côtes découpées de la Bretagne, comme le montre son livre Les objets fractals, qui fait suite à un livre en anglais The fractal geometry of Nature.

 Recommandez cet article à vos contacts  grâce à Google +1 
 ou Facebook 

En savoir plus

Si cet article a éveillé votre curiosité et que vous voulez en savoir encore plus, vous pouvez consulter les documents suivants:

Documents en libre accès sur Internet

Avec d'abord les sites de 2 spécialistes qui savent parler de façon simple, suivis par des sites de passionnés, de galeries d'artistes et d'un logiciel pour créer soi-même des fractales.

Ouvrages sur papier



Texte conforme à la nouvelle orthographe française (1990)

08 février 2008