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Documentation > MUSIQUE ET SON

ton et intonation juste
Science des nombres et sensibilité humaine
(Gammes et modes musicaux, partie III)

Alain Boudet

Dr en Sciences Physiques, Thérapeute psycho-corporel, Enseignant en éducation vocale

Résumé: Pourquoi les interrogations sur la définition du ton et des intervalles constitutifs des gammes ont-elles préoccupé tant de compositeurs et de musicologues depuis l'antiquité grecque? C'est ce que j'explore dans cette troisième partie de mon étude sur les modes. Le ton est-il une donnée absolue? Non, bien au contraire. Au cours du temps, et cela au moins depuis l'antiquité grecque, les intervalles ont été déterminés sur des bases mathématiques et techniques, en faisant appel à la science des nombres et à la notion de micro-intervalles. La gamme tempérée a succédé à d'autres gammes, telles que les gammes pythagoriciennes et la gamme de Zarlino. Elle est une mode passagère, correspondant à une époque. Sa remise en cause actuelle correspond à une phase de déconditionnement. Toutefois l'essentiel réside dans l'effet sonore qui résulte de la gamme et comment elle résonne et agit sur le corps. Les recherches actuelles tentent de trouver une intonation qui soit juste pour le corps et l'être.

Contenu de la partie III

1. Qui décide de la hauteur des notes de la gamme?
2. La gamme tempérée, une division mathématique
3. La gamme selon Zarlino - intervalles justes
4. La gamme de Pythagore - science des nombres et cosmos
5. Comparaison des 3 gammes majeures et de leurs intervalles
6. Gamme chromatique, tons et demi-tons
7. La gamme et la sensibilité humaine
8. Tempéraments - un compromis entre harmonie et lutherie
9. L'intonation juste - la recherche de la meilleure harmonie
10. Résonances corporelles

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Récapitulation des première et deuxième parties: Nous savons qu'un mode est défini par le placement en hauteur, le long de l'échelle d'une octave, d'un nombre limité de notes, typiquement entre 5 et 8. Imaginons ces notes comme des échelons dans l'échelle de l'octave. Ces échelons sont appelés les degrés. Ils peuvent être placés au choix parmi 11 positions possibles sur les montants de l'échelle (on peut les imaginer comme des encoches sur ces montants) - ou 12, en comptant celle du bas qui est le point de départ - divisant l'octave en 12 demi-tons. Le chiffre 12, fréquent dans la musique de l'Occident, n'est d'ailleurs pas impératif, et dans certaines musiques, l'octave est divisée en parties plus nombreuses et plus petites. 

Dans cet article, je me penche sur la façon dont sont déterminés les emplacements des 12 encoches, autrement dit comment sont définis les tons et les demi-tons. Nous constaterons qu'il y a eu des réponses multiples dans l'histoire de la musique. La façon d'accorder les instruments est le reflet d'une époque, d'un lieu, d'une pensée. La méthode pour construire un mode a changé, elle continue à évoluer.

Afin de comprendre cela de façon concrète, je prends pour exemple 3 gammes (ou modes), les plus citées et référencées, toutes majeures mais accordées de 3 façons différentes. Dans notre terminologie contemporaine qui ne respecte pas forcément l'histoire, elles sont nommées gamme tempérée, gamme de Zarlino et gamme de Pythagore.

Mais attention, l'intention de cet exposé n'est pas une reconstitution historique encyclopédique, ni un enseignement technique opératoire. Ces aspects y sont certes présents, mais seulement comme des illustrations concrètes. La description détaillée de ces gammes nous permettra de constater que nous sommes conditionnés par des idées reçues sur les gammes et le ton et nous ouvrira de nouvelles perspectives. Nous pouvons choisir la musique qui nous fait le plus de bien par ses résonances.

Dans l'immédiat, nous nous questionnons sur la nature constitutive de la gamme. Comment une gamme est-elle déterminée? Ne vous arrêtez pas sur les tableaux de chiffres si ça ne vous parle pas, vous pouvez les sauter sans inconvénient. Ils sont seulement là pour décrire les intervalles de façon plus précise afin de montrer la preuve de ce qui est dit.

Qui décide de la hauteur des notes de la gamme?

Pourquoi les modes sont-ils construits avec 7 degrés, ou 5 ou 8 (voir Partie II: défilés de modes)? Et comment la hauteur de ces degrés est-elle fixée de façon exacte? Exemple pratique: A quelle hauteur un fabriquant d'instruments fixe-t-il les notes de ses instruments. Comment procède un accordeur de piano? Les modes sont un langage, et choisir les hauteurs fines des notes ou intonation revient à définir les codes de ce langage (voir mon article Codes et langages). Pourquoi adopter tel langage, telle grammaire plutôt que d'autres? Y a-t-il une instance académique internationale qui fixe la définition des notes, comme l'Académie Française définit les mots et leur orthographe?

En réalité, de la même façon que l'humanité nous offre bien des langages très différents, de même elle nous offre des langages musicaux différents, dans lesquels la définition des tons et demi-tons varie beaucoup. Par notre culture occidentale, essentiellement "commerciale" et "médiatique" au travers des disques, des diffusions radio et TV, nous sommes conditionnés à écouter de la musique dite "tempérée", dont on verra la définition plus bas. Mais cela n'est le cas ni dans la musique du Moyen Âge, ni dans la musique ethnique, ni dans la pratique réelle du chanteur. La gamme tempérée semble avoir bien des inconvénients, surtout parce qu'elle ne respecte pas les correspondances naturelles avec le corps. Actuellement un mouvement de chercheurs et compositeurs développe une nouvelle musique basée sur les résonances naturelles, qualité appelée l'intonation juste. Qu'est-ce que ça veut dire, juste?

Peut-être avez-vous eu l'impression, comme moi il y a quelques années, que ce que nous apprennent nos institutions d'enseignements et nos journaux sur les gammes majeures et mineures sont des lois musicales universelles et immuables, semblables à la loi de la gravité qui régit l'orbite terrestre ou aux lois physiologiques de la circulation sanguine. Oui, les gammes répondent également à des lois qui fixent les hauteurs de notes. Mais sont-elles des lois cosmiques ou seulement des conventions culturelles, des produits arbitraires de nos esprits?

Je me propose de répondre à ces questions en commençant par comprendre ce qu'est notre gamme habituelle dans notre culture de masse: la gamme tempérée. On découvrira qu'elle est d'un usage assez récent, et qu'auparavant on utilisait d'autres systèmes d'intonation, tels que la gamme de Zarlino et puis d'autres encore. Et que ces systèmes n'étaient pas tempérés ou pas de la même façon.

La gamme tempérée, une division mathématique

A votre avis, comment les emplacements précis des 11 encoches (les ronds rouges sur la figure) sont-ils déterminés? Peut-être allez-vous me répondre que le schéma (la figure ci-contre, issue de la Partie I) en donne la solution puisque nous y voyons une succession de tons et de demi-tons. Si un ton vaut deux demi-tons, alors il suffit de diviser l'intervalle d'octave en 12 demi-tons identiques, ce qui fixe la position des encoches. Cette réponse n'est exacte qu'en ce qui concerne la gamme à tempérament égal. Ce n'est pas vrai en général, comme on le verra pour les autres gammes. Cette description est précisément la définition de la gamme tempérée actuelle (on verra plus bas la signification des termes tempéré et tempérament et l'existence de plusieurs types de tempéraments).

Pour illustrer le questionnement sur la définition du ton, nous nous restreignons dans cet article au mode majeur, comme exemple qui imprègne notre culture musicale classique et beaucoup de nos chants populaires. Le mode majeur est défini par le choix particulier du jeu des 7 échelons sur les 12 encoches de l'échelle, donc des intervalles entre échelons successifs, tel qu'il est représenté sur la figure, alors que le problème de l'intonation ou du tempérament concerne la position fine des encoches choisies.

Remarque: Si j'emploie le terme de "gamme" majeure, certains vont penser que je ne suis pas rigoureux puisque selon la définition que j'ai donnée des gammes et des modes dans la première partie, je devrais dire un "mode" majeur. Oui, c'est vrai, mais le langage ne se comporte pas comme un être mathématique rigoureux. En réalité le mot "mode" est déjà contenu dans "majeur", et "gamme majeure" signifie "n'importe quelle gamme en mode majeur". D'ailleurs, dans les pratiques musicales planétaires, la distinction entre mode et gamme n'est pas aussi évidente que notre définition rigoureuse des temps modernes, et cela est lié au peu d'importance accordée à la hauteur absolue (voir mon article Sensations sonores: hauteur).

Dans les gammes à tempérament égal (en raccourci "tempérées), les tons sont tous identiques, le demi-ton vaut exactement la moitié d'un ton, l'octave possède 12 demi-tons rigoureusement égaux. Le demi-ton est donc la douzième partie d'une octave et les encoches sont disposées à intervalles réguliers d'un demi-ton. Si l'on veut utiliser une gamme chromatique ou changer de tonalité (voir Partie I), c'est très commode parce que DO# et RÉb étant la même note (et ainsi de suite pour les autres), il suffit de tout décaler d'un certain nombre de demi-tons. Cette gamme est le type auquel la culture médiatique nous a habitués.

Comment diviser l'octave en douze demi-tons égaux?

Si l'on mesure les intervalles en unités appelées "cents" (voir article Sensations sonores: hauteur), les demi-tons valent 100 cents par définition du cent, les tons valent 200 cents, et l'octave vaut 1200 cents.

Si l'on mesure les intervalles par les fréquences vibratoires des sons, le calcul de leur valeur est un peu plus compliqué. L'octave est caractérisée par le nombre 2 qui est le rapport entre les fréquences de deux notes distantes d'une octave. Il s'agit d'un rapport, c'est-à-dire d'une division. Dans ce cas, pour partager l'octave en douze intervalles égaux, les mathématiques nous apprennent qu'il ne faut pas diviser 2 par 12, mais utiliser la racine douzième: nous obtenons l'intervalle d'un demi-ton, ¹²√2, qui s'écrit aussi 2^1/12, soit 1,0595. C'est le nombre par lequel il faut multiplier (et non ajouter) la fréquence d'une note quelconque pour monter d'un demi-ton. En montant une deuxième fois d'un demi-ton, on a le rapport 2^2/12=1,12246 pour un ton. et ainsi de suite, jusqu'à retrouver 2 lorsqu'on a multiplié 12 fois.

Dans le tableau I, j'ai reporté les valeurs des intervalles du mode majeur à tempérament égal par rapport à la note de base de la gamme, la tonique. Les intervalles, on l'a vu dans la Partie I, sont indépendants du choix de la tonique. Cependant, pour l'exemple, j'ai choisi le DO3 comme tonique et fixé la fréquence du LA3 à 440 hertz selon la référence internationale, ce qui détermine la valeur des fréquences des autres notes (voir article Sensations sonores: hauteur pour la numérotation des octaves et la détermination d'un diapason international). En conséquence, les deux dernières lignes du tableau sont une application particulière du schéma général du mode majeur tempéré donné par les 3 lignes précédentes.

Tableau I: Les intervalles de la gamme majeure tempérée par rapport à la note de base

La gamme tempérée, un modèle passager parmi d'autres

Le résultat de ces calculs est flagrant: la gamme tempérée est d'une précision mathématique, claire et sans surprise. Les tons et demi-tons s'y échelonnent de façon régulière en 100 ou 200 cents. Si nous sommes de ceux qui n'ont reçu que quelques cours scolaires pour toute éducation musicale, observons que nous nous faisons une représentation de la gamme assez conforme à cette vision: un ton doit toujours avoir la même grandeur quoiqu'il arrive et il est défini par les musiciens et les scientifiques! De plus, lorsque nous voyons un piano avec ses touches équidistantes, nous avons une image qui semble confirmer cette représentation.

Or celle-ci est due à une habitude, une paresse de l'esprit liée au conditionnement ambiant. De même, mon schéma des 11 ronds rouges sur l'échelle ci-dessus peut laisser croire que leur position est bien déterminée à intervalles réguliers, fixée par quelque autorité compétente. En réalité, les intervalles ne sont réguliers que dans le cas de la gamme tempérée à laquelle nous sommes habitués, mais elle est loin d'être la seule construction possible. Il existe des variations fines des positions des degrés et des écarts subtils dans la définition des tons et des demi-tons. Ainsi, le demi-ton n'est pas forcément la moitié d'un ton.

Observons que le procédé consistant à définir un ton comme fraction d'octave dérive d'une recherche mentale plus que d'une sensibilité, même si, comme on le verra plus loin, elle répond à des problèmes pratiques de transposition et de modulation. La gamme tempérée est le reflet d'une mentalité très moderne de mesure, de normalisation et d'uniformité, qui s'est développée en même temps que la science mécanique et la technique.

En effet cette gamme est récente. Elle est utilisée seulement depuis le 18^e siècle, après bien des débats et réticences Il est souvent dit que c'est J.S. Bach, en composant son oeuvre Le clavier bien tempéré, qui a été le promoteur de cette nouvelle gamme, mais cette rumeur est fausse. Car bien tempéré n'a pas le sens de tempérament égal, mais de tempérament le meilleur. Les musicologues sont d'avis que Bach s'est opposé à l'usage de la gamme à tempérament égal et qu'il a défendu des systèmes dont le tempérament n'est pas égal (voir plus loin la définition d'un tempérament).

Au cours des siècles, beaucoup de recherches ont été conduites sur la définition des intervalles musicaux, par de nombreux musiciens, compositeurs et physiciens, en Occident et aussi en Asie et au Moyen Orient. Même pendant ses heures de gloire, la gamme tempérée a été quelquefois contorsionnée, poussée dans ses retranchements, et ses cadres ont été outrepassés. La musique contemporaine a abandonné la gamme tempérée et s'est dirigée vers d'autres formes (voir article Evolution de l'expression musicale occidentale). Et oui, car le monde est vaste, créatif et diversifié (voir partie II, Défilé de modes). Le tempérament égal n'est pas utilisé dans les musiques extra- européennes, ni en principe dans les musiques traditionnelles.

En conséquence la gamme tempérée n'est pas un modèle absolu. Elle ne constitue qu'une mode passagère, et ce mot "mode" n'est pas péjoratif. Car elle est à l'origine d'un foisonnement créatif et source d'oeuvres magnifiques. Cela témoigne simplement d'une évolution constante de la musique, à l'image de l'être humain et de la vie, évolution parsemée de moments de repos et d'intégration pendant lesquels on profite des nouveaux acquis.

Mais alors, quelles étaient les gammes employées en Europe avant le 18^e siècle? La musique de la Renaissance s'est beaucoup fondée sur les recherches de Zarlino et des systèmes de tempéraments inégaux qui ont eux-mêmes remplacé le système dit "pythagoricien" employé au Moyen-Âge.

A titre d'exemple très instructif, étudions la gamme majeure fondée sur le tempérament de Zarlino. Elle va nous introduire la notion d'intervalle juste et naturel.

La gamme selon Zarlino - intervalles justes

De tout temps, les compositeurs érudits se sont interrogés sur les valeurs à attribuer aux intervalles et sur la construction des modes. De nombreux écrits nous sont parvenus, relatant les recherches de quelques-uns d'entre eux depuis l'antiquité grecque jusqu'à nos jours. Gioseffo Zarlino est l'un d'entre eux. Compositeur italien de la Renaissance (1517-1590), il a mené des études approfondies sur les modes de l'antiquité grecque (issus des enseignements de Pythagore), auxquels il reprochait d'avoir des tierces dissonantes. Il a ainsi été amené à proposer un ajustement des intervalles qui assure la justesse des tierces principales, en se référant aux travaux de Ptolémée au deuxième siècle de notre ère. A partir du XIX^e siècle, sous l'impulsion du physicien H. von Helmholtz, la gamme construite sur la base de ce système prend le nom de gamme de Zarlino, dite aussi gamme naturelle. Elle a été en usage du 16^e au 18^e siècle. Mais ce n'était pas la seule, car le problème de la justesse des intervalles et de leur réalisation pratique sur des instruments a reçu d'autres solutions appelées tempéraments, plus réalistes pour leur exécution sur des instruments à clavier, comme on le verra à la fin de cet article.

La gamme de Zarlino est dite naturelle en ce sens que Helmholtz l'a théorisée sur la base d'intervalles issus des résonances physiques naturelles. Zarlino comme Helmholtz désiraient atteindre une certaine perfection harmonique dans la justesse des intervalles.

Les résonances physiques naturelles d'une note donnée sont les sons harmoniques de cette note. Physiquement, les sons harmoniques sont caractérisés par la valeur de leur fréquence: elle est un multiple de la fréquence du son de base (pour la nature et la définition des harmoniques, voir article Sensations sonores: le timbre). Les sons harmoniques, que l'oreille entend clairement, superposés à la note de base, ont retenu l'attention de tout temps pour la pratique vocale, instrumentale et spirituelle. 

Ainsi les intervalles naturels sont ceux qui naissent des intervalles entre sons harmoniques. Examinons-les.

Harmoniques naturelles de DO

Tout d'abord, voici sur le tableau II les harmoniques d'un son de base, DO1. Le nombre de la première ligne indique le numéro d'ordre de l'harmonique, mais il est également le facteur par lequel il faut multiplier la fréquence de base pour donner la fréquence de l'harmonique. Par exemple, si je choisis une fréquence de base de 66 Hertz (elle serait de 251,63/4 = 65,4 dans la gamme tempérée examinée plus haut), la fréquence de l'harmonique 12 est 66x12 =792. C'est un SOL4.

Tableau II: Harmoniques naturelles de DO1. Le nombre de la première ligne indique le numéro d'ordre de l'harmonique, mais il est également le facteur qui donne la fréquence de l'harmonique, en le multipliant par la fréquence de base. On peut repérer l'accord parfait majeur (bleu sombre), l'accord parfait mineur (marron) et les 5 notes de la gamme pentatonique (en gras dans l'octave 4).

La plupart de ces fréquences correspondent à des notes constitutives de la gamme majeure. Dans l'octave 4, on a la succession de 5 notes de la gamme dans des rapports harmoniques naturels: DO, RÉ, MI, SOL, SI.

Cents, fréquences et  longueurs de corde

Pourquoi avoir exprimé les intervalles en fréquences et non en cents, comme dans la gamme tempérée? C'est tellement plus parlant dans une gamme! Et bien, nous le ferons plus loin. Toutefois, ce qui vient en premier dans l'étude des intervalles sont les rapports de fréquence, comme il apparaît dans le tableau II des harmoniques. Historiquement, c'était le seul moyen physique de mesurer les intervalles. Comment les anciens pouvaient-ils mesurer des fréquences sans appareil électronique, ni définition internationale d'un LA de référence?

Un monocorde, d'après les écrits de Zarlino
(image empruntée à O. Bettens)

Tout comme ses prédécesseurs grecs, médiévaux et ses contemporains, Zarlino se servait d'instruments à cordes, les monocordes, conçus dans ce but. Ils étaient faits d'une corde tendue entre les deux extrémités d'une planchette (voir figure ci-contre). Un chevalet mobile, sorte d'arête, partageait la corde en deux. La hauteur des notes émises par chacune des portions de corde de part et d'autre du chevalet est en relation directe avec leur longueur. Aussi, on mesurait un intervalle entre deux notes par le rapport, non pas des fréquences, mais des longueurs de corde correspondantes. Or, il a été montré plus tard par des physiciens tels que Helmholtz que le rapport des fréquences est exactement l'inverse des rapports de longueur. Autrement dit, si vous divisez la longueur de la corde par 2, sa fréquence sonore est multipliée par 2 et vous obtenez l'octave! Dans ses ouvrages, Zarlino rapporte la longueur des cordes et les compare en faisant leur rapport. 1/2 pour l'octave, 2/3 pour la quinte, etc.

Accords parfaits

Revenons aux harmoniques du tableau II. [Remarque de navigation: ne craignez pas de vous rendre à ce tableau en cliquant sur le lien, car vous avez la possibilité de revenir ensuite ici-même pour la suite de votre lecture en utilisant, dans la barre de menu de votre navigateur, la flèche gauche "Revenir à la page précédente", ou alternativement sur le clavier: ALT+flèche gauche pour Windows]

La succession des harmoniques 4, 5 et 6 (DO, MI, SOL) constitue un accord parfait majeur. Les harmoniques 10, 12 et 15 donnent l'accord parfait mineur: MI, SOL, SI. Par contre les harmoniques 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, etc. ne correspondent pas à des notes de la gamme majeure (entre parenthèses le nom de la note la plus proche).

La quinte juste (SOL) apparaît avec l'harmonique 3 et la tierce juste (MI)  avec l'harmonique 5.

La gamme à 5 notes (ou gamme pentatonique)

Dans le tableau II des harmoniques, on peut ramener les notes RÉ4 et SI4 de l'octave 4 à l'octave 3 en divisant les fréquences par 2 pour avoir RÉ3 et SI3. Le résultat est rapporté dans le tableau III.

Tableau III: Les intervalles de la gamme majeure de Zarlino, par rapport à la note de base

Intervalles par rapport à la tonique	En cents	0	204	386	498	702	884	1088	1200
	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
Notes		DO3	RÉ3	MI3	FA3	SOL3	LA3	SI3	DO4
Fréquences des notes en hertz repère LA 440		264	297	330	352	396	440	495	528

Note de lecture: Les paragraphes écrits en retrait et en petits caractères comme celui-ci sont des développements techniques que vous pouvez sauter sans inconvénients, pour une lecture plus fluide.

Calcul des intervalles: Pour calculer l'intervalle entre une note donnée et la note de base DO3, on fait le rapport entre sa fréquence et celle du DO3 (voir le tableau III). Par exemple, d'après le tableau II, le rapport entre SOL 3 (position 6) et DO3 (position 4) est 6/4=3/2. Entre MI3 et DO3: 5/4. En ce qui concerne les autres notes, le SI4 en position 15 donne un SI3 à une fréquence 15/2 fois plus grande que DO1, et donc seulement 15/8 plus grande que DO3. Le RÉ4 en position 9 donne un RÉ3 de 9/8.

On remarque que les rapports définissant les intervalles sont des fractions de nombres simples:
quinte: 3/2 (harmonique 3)
tierce majeure: 5/4 (harmonique 5)
En ajoutant la tonique, cela compose l'accord parfait majeur.

De plus, on remarque que le numérateur est plus élevé que le dénominateur d'une unité (2+1/2 pour la quinte; 4+1/4 pour la tierce). C'est ce que les anciens appelaient un rapport épimore ou superparticulaire. Cette simplicité des nombres est devenue un principe dans la recherche des autres intervalles; en langage moderne, on pourrait dire une sorte d'esthétique.

Remarquons également qu'à ce stade, on a obtenu seulement 5 notes. Dans le stock des rapports harmoniques, on ne trouve pas les deux notes FA et LA. Avec les harmoniques, on obtient donc une gamme à 5 notes, dite pentatonique.

DO - RÉ - MI - SOL - SI - (DO)

Deux accords parfaits naturels

Si l'on veut disposer d'une gamme majeure à 7 notes, dite heptatonique, on doit ajouter à ces 5 notes naturelles une quarte (FA) et une sixte (LA). Or, on doit être guidé par des soucis de justesse, c'est-à-dire que nous continuerons à employer les rapports simples et épimores: la quinte (3/2) et la tierce (5/4), issus des intervalles entre harmoniques proches. Zarlino tenait au rapport 5/4 pour la tierce, qui la distingue de la tierce pythagoricienne (81/64) et, notons-le, de la tierce tempérée.

Construction: Pour cela, cherchons à construire ces intervalles en prenant comme notes fondamentales les harmoniques les plus proches de la note de base DO. On trouve d'abord la deuxième harmonique DO, qui n'apporte pas de nouveauté. La troisième harmonique est la quinte, SOL (voir tableau II).

Construisons l'accord parfait majeur avec comme fondamental SOL, de valeur 3/2 par rapport à DO, cela donne:
SOL, son fondamental de l'accord: 3/2
SI3,  tierce de SOL: (3/2)x(5/4)=15/8 et 
RÉ4,  quinte de SOL: (3/2)x(3/2)=9/4. Ramené à l'octave 3, on a RÉ3 à 9/8.
Ces deux notes RÉ et SI sont déjà présentes avec ces valeurs dans la suite des 5 notes (tableau III). On n'a donc pas généré de nouvelles notes. Cela montre que ces 2 harmoniques de SOL sont contenues naturellement dans les harmoniques de la tonique DO, que les intervalles de quinte DO-SOL et SOL-RÉ sont identiques, et que les intervalles de tierce DO-MI et SOL-SI sont également identiques.

Deux accords parfaits majeurs sont naturellement présents dans cette gamme de 5 notes, celui de DO (DO - MI - SOL) et celui de SOL (SOL - SI - RÉ). Nous devons aller plus loin pour déterminer le FA et le LA et dans ce but, nous allons introduire un troisième accord parfait basé sur le son fondamental FA: FA-LA-DO.

La symétrie de la quarte et de la quinte

Comment le FA est-il introduit? Remarquons que la quinte SOL sépare l'octave en deux parties: de DO à SOL (une quinte, intervalle de 5 notes consécutives) et de SOL à DO (une quarte, intervalle de 4 notes consécutives). C'est donc là qu'apparaît l'intervalle de quarte.

La symétrie de la quinte et de la quarte entre les deux extrémités de l'octave

On trouve le FA en reportant l'intervalle de quinte en descendant à partir du DO supérieur.

Calcul de l'intervalle DO - FA:
Le DO supérieur a pour valeur 2. Reportons un intervalle de quinte (3/2) en descendant. Nous arrivons à FA dont la hauteur par rapport au DO inférieur est: 2/(3/2)=4/3

La quarte est définie par sa valeur de 4/3 qui, remarquons-le, est également un intervalle épimore: (3+1)/3. On a le même intervalle de quarte 4/3 entre DO3 - FA et entre SOL - DO4.

Observons cette symétrie quarte +ton +quarte, présente également dans la gamme tempérée.

Pour obtenir le LA (sixte de DO), on construit un troisième accord parfait sur FA (FA, LA, DO).

Calcul de l'intervalle DO - LA:
FA, son fondamental: 4/3
LA, tierce de FA: (4/3)x(5/4)=5/3
DO, quinte de FA: (4/3)x(3/2)=2

Après la quinte (3/2), la tierce (5/4) et la quarte (4/3), on trouve que la sixte est définie par le rapport 5/3 (tableau III). Ainsi la gamme de Zarlino est générée par les harmoniques 3 et 5. Le 3 engendre la quinte, et la quarte par renversement de la quinte, et le 5 engendre la tierce.

Gamme à trois accords parfaits

Il est remarquable de découvrir que la gamme majeure peut être entièrement générée par 3 accords parfaits majeurs reposant sur les degrés I (DO), IV (FA) et V (SOL). Ces degrés sont appelés les notes tonales. Les personnes qui accompagnent des chants avec un instrument d'harmonie (guitare, accordéon, piano, etc.) reconnaîtront là les trois accords de base utilisés dans les accompagnements.

Nous disposons à présent de toutes les notes de la gamme majeure naturelle de Zarlino. Alors nous pouvons nous poser les questions: en quoi diffère-t-elle de la gamme tempérée? Pourquoi a-t-elle supplanté la gamme de Pythagore que Zarlino a étudiée attentivement comme base de ses recherches? Pourquoi a-t-elle été elle-même abandonnée au profit de la gamme tempérée?

Pour faciliter la comparaison des nouveaux intervalles, il est judicieux de convertir les valeurs fractionnaires en cents (tableau III). On constate immédiatement des différences dans la définition du ton: de valeur 200 cents dans la gamme tempérée, il passe à 204 cents dans la gamme de Zarlino. Quant à la quinte SOL, elle est de 702 cents au lieu des 700 cents de la gamme tempérée. Quelle incidence cela a-t-il sur la justesse de l'intonation vocale et instrumentale? Je reporte cette discussion un peu plus loin, afin de lui inclure la gamme de Pythagore qu'il est temps de présenter ci-dessous.

La gamme de Pythagore - science des nombres et cosmos

Pythagore, sage initié de la Grèce antique

Les compositeurs, du Moyen-Âge au XVI^e siècle, utilisaient les modes liturgiques reposant sur la gamme dite de Pythagore (sur les modes liturgiques, voir Partie II, Défilé de modes). Pythagore a vécu en Grèce au VI^e siècle avant Jésus-Christ. Les collégiens connaissent bien le théorème de Pythagore sur les triangles rectangles, mais ce qu'ils ignorent, ainsi que la plupart de leurs professeurs, c'est qui était réellement Pythagore, et pourquoi il est impliqué dans l'étude des triangles et dans celle des gammes. Or il mérite d'être plus amplement connu, aussi vais-je donner quelques informations à son sujet.

Pythagore, sage et initié, a fondé une école des mystères qui accueillait de nombreux disciples à Crotone au Sud de l'Italie, qui faisait alors partie de la Grande Grèce. Auparavant il avait voyagé et passé 22 ans de sa vie en Égypte où il avait été accueilli par le pharaon Amosis et initié aux connaissances égyptiennes par les prêtres. L'Égypte ayant été envahie par les Perses, il a été fait prisonnier et emmené à Babylone où il a passé une douzaine d'années au contact de la philosophie de Zoroastre. De ces formations, il a retiré sa propre doctrine et ses connaissances sur l'être humain, l'âme, le cosmos, la géométrie, les nombres. 

Pythagore et les nombres

A ses disciples, Pythagore enseignait que le nombre n'est pas une quantité abstraite comme le considéraient les profanes, mais un principe vivant et sacré, issu de l'harmonie cosmique. Les nombres représentent les forces divines en action dans le monde, dans l'être humain et dans la musique. La tradition rapporte que le cosmos est engendré par quatre nombres essentiels: de 1 à 4. En les additionnant ou les multipliant, on retrouve tous les autres. D'autres chiffres ont une grand importance:  le 7, le 10 et le 12.

Le 1 est le nombre de l'origine, l'Unité primordiale, l'Essence de Dieu, la Monade. Le monde, malgré sa diversité, n'est qu'une unité. Toute action d'un individu réagit sur l'Univers entier, de même qu'un individu subit les influences de l'Univers entier. L'Être humain n'est pas séparé de l'Univers, de même que la goutte d'eau est une partie de l'Océan. L'être humain se présente selon différentes facettes, certaines qu'il aime et d'autres qu'il déteste, mais il ne peut évoluer et s'élever que s'il s'élève dans une vision globale et réunit ces facettes en une seule, sans séparation, quand il retrouve son unité. 

Le 2 exprime la dualité qui consiste à se dédoubler pour se voir, se contempler. C'est la Dyade qui représente nos polarités, en premier la polarité masculin/féminin, qui est la faculté créatrice et régénératrice. En eux-mêmes, les chiffres pairs portent une tonalité féminine. Se dédoubler, c'est prendre de la distance par rapport à soi, mais on reste soi. Le 2 engendre l'octave, qui n'est que la même note répétée à un autre niveau. Pour en sortir, le 2 doit être fécondé par le 3, premier nombre impair, de tonalité masculine.

Le 3 exprime la manifestation, la création, le monde réel. C'est la Triade ou Trinité, le père, la mère et le fils, que l'on trouve non seulement dans la doctrine chrétienne (le Saint-Esprit est l'aspect féminin, la sève de Dieu qui coule dans le corps, bien que cela n'ait pas été conservé comme tel par l'église), mais également dans les théogonies indienne, chinoise, égyptienne, babylonienne, celte. C'est la constitution ternaire de l'être humain, corps physique, âme et esprit. Le 3 engendre la quinte. C'est la première note qui se distingue de la note de base, et qui, comme on va le voir, engendre à elle seule les 7 degrés de la gamme et les 12 notes chromatiques.

Le 7 est un développement de la manifestation qui exprime la loi de l'évolution, la réalisation complète, l'union du 3 et du 4, de l'homme et de son aspect divin. Le 7 a été projeté dans les 7 jours de la semaine, les 7 couleurs de l'arc-en-ciel qui ne sont en fait que la représentation symbolique des 7 rayons créateurs de l'univers (voir article La couleur), les 7 notes de la gamme et le 7 modes de Pythagore (voir Partie II, Défilés de modes).

Le 10 représente la Décade sacrée, la perfection.

Un aspect plus évolué de l'univers et de l'être humain repose sur la structure du 12. On le trouve dans les 12 mois de l'année, les 12 constellations zodiacales, et les 12 degrés chromatiques. La somme 3+7+12=22 est également un nombre sacré, représenté dans les 22 lames du tarot, elles-mêmes traduisant les couches que l'être humain doit traverser et intégrer pour devenir un initié.

Ces nombres apparaissent également dans le nombre de chakras actifs dans l'être humain, traditionnellement 7, mais qui deviennent progressivement 8, puis 12, puis 22 au fur et à mesure du développement spirituel du disciple (voir article Les corps subtils et les chakras).

De la Grèce antique au Moyen-Âge et à la musique arabe contemporaine

Lorsque les compositeurs du Moyen-Âge parlent de la gamme pythagoricienne, il ne s'agit probablement pas de la gamme mise au point par Pythagore lui-même. Beaucoup parmi ses disciples se sont emparés du problème et ont cherché à condenser les lois cosmiques des nombres dans la gamme, même plusieurs siècles après. De nombreux écrits rapportent leurs tentatives et leurs résultats: ceux de Platon, de Boèce, d'Euclide. Or dans ces écrits, plusieurs systèmes s'affrontent. 

Le pythagoricien Archytas retient les intervalles de la forme 2/1 (octave), 3/2 (quinte), 4/3 (quarte) que nous avons rencontrés plus haut dans cet article. Il les généralise à tous les intervalles faits de rapports épimores de la forme (n+1)/n, autrement dit du rapport de 2 chiffres qui se suivent: 5/4 (tierce majeure), 6/5 et 7/6 (tierces mineures). On va aussi trouver des tons de plusieurs grandeurs: 9/8, 10/9 et 16/15, plusieurs demi-tons tels que 16/15 et 25/24 et enfin des intervalles plus petits ou micro-intervalles. Le quart de ton (attention, ce n'est pas le quart d'un ton!) était utilisé dans certaines échelles de la musique grecque antique. Il était appelé diesis. Son étendue varie selon les théoriciens: 36/35, 28/27, 39/38, 40/39, 31/30, 32/31. Zarlino a appuyé sa théorie sur ce système.

Un autre disciple, Philolaos, s'appuyait sur les quintes. Il semble que c'est ce système, explicité 6 siècles après la période de Pythagore par Nicomaque de Gérase, qui constitue ce qu'on appelle dorénavant le système diatonique pythagoricien.  

Les deux théories des pythagoriciens (épimores et quintes) ont diffusé à partir de la Grèce, ont été reprises et étudiées, transformées, complétées en Turquie, Perse, Asie centrale, et sont une des sources des musiques qu'on appelle maintenant arabes. Par exemple, le grand musicien persan Ziryâb les aurait connues. C'est lui qui quittant Bagdad pour s'installer en Andalousie, est à l'origine de la musique arabo-andalouse, la Nouba (voir Partie II, défilés de modes).

Le cycle des quintes

La gamme dite de Pythagore est basée elle aussi sur les résonances physiques naturelles, les harmoniques. Par rapport à la gamme de Zarlino, c'est une autre façon d'être naturelle, naturelle parce que bâtie sur les harmoniques naturelle. Mais elle ne retient que les deux premières harmoniques, 2 et 3 (et non l'harmonique 5 comme Zarlino plus tard). Notons en passant combien ces gammes naturelles reposent sur des études réfléchies et élaborées.  Les deux nombres 2 et 3 ont une importance fondamentale, ainsi que leurs combinaisons qui vont générer tous les intervalles. En premier lieu l'intervalle 3/2 qui est la quinte. Le nom de quinte provient de la position de la note correspondante (SOL) au cinquième degré de la gamme.

Si l'on part de DO3 en position 0, on descend et on monte de quinte en quinte en divisant et multipliant par 3/2, ce qui donne:

Tableau IV: Suite des quintes à partir de DO

On obtient la gamme majeure pythagoricienne en rassemblant les notes dans la même octave (tableau V).

Tableau V: Les intervalles de la gamme majeure pythagoricienne par rapport à la note de base

Intervalles par rapport à la tonique	En cents	0	204	408	498	702	906	1110	1200
	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Notes		DO3	RÉ3	MI3	FA3	SOL3	LA3	SI3	DO4
Fréquences des notes en hertz repère LA 440		260,74	293,33	330	347,65	391,11	440	495	521,48

Calcul des notes de la gamme: Ainsi FA3 vient de FA2 en multipliant par 2, ce qui élève d'une octave: de 2/3 à 4/3. RÉ3 vient de RÉ4 en divisant par 2, ce qui abaisse d'une octave: de 9/4 à 9/8. MI3 vient de MI5 en divisant par 4, soit de 81/16 à 81/64. SI3 vient de SI5 en divisant par 4, soit 243/128.

Comparaison des 3 gammes majeures et de leurs intervalles

Nous sommes maintenant en mesure de comparer ces gammes, d'évaluer l'importance et l'intérêt de leurs différences, en rassemblant les tableaux I, III et V en un seul tableau récapitulatif synthétique, complété (tableau VI). 

Les chiffres et vous: Ne vous laissez pas effrayer par la complexité du tableau et l'abondance de chiffres, car ceux-ci ne sont pas indispensables pour en comprendre les conclusions. Je les rapporte pour ne pas en priver ceux qui ont cette culture des chiffres et qui peuvent les utiliser dans leurs propres recherches et applications.

Quant à ceux qui veulent comprendre sans entrer dans le détail des chiffres, je les guiderai à travers ce tableau en prenant seulement quelques exemples caractéristiques, au fur et à mesure de l'article. Voici pour commencer une présentation du tableau:

Explications pour lire le tableau: Il est divisé en trois sections correspondant à chacune des gammes (tempérée, Zarlino, Pythagore). Sur les premières lignes de chacune des sections, on retrouve les données des tableaux I, III, et V dans un ordre un peu différent:

• Lignes 1, 9, 18: En première ligne de chacune des gammes, le nom des notes.
• Lignes 2, 10, 19: La deuxième ligne reprend les fréquences de ces notes pour chacune des gammes, calées sur le repère international du LA3 de 440 hertz. Ces fréquences peuvent être utiles à ceux qui veulent générer des sons électroniques.
• Lignes 3, 11, 20: Il est peut-être plus instructif pour l'oreille de comparer les différentes gammes avec comme référence commune, non pas le LA 440, mais la tonique DO, choisie arbitrairement à 264 Hz. Cela ne change rien dans le cas de la gamme de Zarlino (lignes 10 et 11 identiques).
• Lignes 4, 12, 21: Ensuite on trouve les valeurs fractionnaires brutes des intervalles par rapport à la tonique, issues des tableaux précédents.
• Lignes 5, 13, 22: Il sera plus facile de comparer ces rapports en les exprimant sous forme décimale.
• Lignes 6, 14, 23. Enfin, les valeurs des intervalles en cents, telles qu'elles ont été présentées dans les tableaux précédents, seront probablement bien plus parlantes encore.
• Les lignes suivantes seront expliquées plus loin.

Note mathématique. Comment passer d'une valeur fractionnaire à une valeur en cents: Si les fréquences de 2 sons sont f₁ et f₂, leur intervalle a pour mesure le rapport f₁/f₂, exprimé soit en valeur fractionnaire, soit en valeur décimale, en effectuant le calcul de la fraction. Le même intervalle peut être exprimé en cents (une octave = 1200 cents). Pour cela, il faut utiliser la fonction logarithme qui permet de transformer des rapports qu'on multiplie et divise, en intervalles qu'on ajoute ou retranche. L'intervalle entre f₁ et f₂ se calcule par la formule: , où 1200 et log2 sont des coefficients d'échelle qui permettent de garantir que l'intervalle d'octave, de rapport f₁/f₂=2, fait bien 1200 cents (voir article Sensation sonore: hauteur)

Tableau VI: Tableau récapitulatif des 3 gammes majeures et de leurs intervalles

Gamme tempérée
1	Notes		DO3	RÉ3	MI3	FA3	SOL3	LA3	SI3	DO4
2	Fréquences des notes, base LA 440		261,626	293,665	329,628	349,218	391,994	440	493,884	523,252
3	Fréquences des notes, base DO 264		264	296,329	332,619	352,387	395,55	443,992	498,366	528
4	Intervalles par rapport à la tonique	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	22/12	24/12	25/12	27/12	29/12	211/12	2
5		En rapport de fréquences (décimal)	1	1,12246	1,25992	1,3348	1,49830	1,68179	1,88775	2
6		En cents	0	200	400	500	700	900	1100	1200
7	Intervalles par rapport à la note précédente	En rapport de fréquences (décimal)	1	1,1225	1,1225	1,0595	1,1225	1,1225	1,1225	1,0595
8		En cents	0	200	200	100	200	200	200	100
Gamme de Zarlino
9	Notes		DO3	RÉ3	MI3	FA3	SOL3	LA3	SI3	DO4
10	Fréquences des notes, base LA 440		264	297	330	352	396	440	495	528
11	Fréquences des notes, base DO 264		264	297	330	352	396	440	495	528
12	Intervalles par rapport à la tonique	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
13		En rapport de fréquences (décimal)	1	1,1250	1,2500	1,3333	1,5000	1,6666	1,8750	2
14		En cents	0	204	386	498	702	884	1088	1200
15	Intervalles par rapport à la note précédente	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9	9/8	16/15
16		En rapport de fréquences (décimal)	1	1,1250	1,1111	1,0666	1,1250	1,1111	1,1250	1,0666
17		En cents	0	204	182	112	204	182	204	112
Gamme de Pythagore
18	Notes		DO3	RÉ3	MI3	FA3	SOL3	LA3	SI3	DO4
19	Fréquences des notes, base LA 440		260,74	293,33	330	347,65	391,11	440	495	521,48
20	Fréquences des notes, base DO 264		264	297	334,125	352	396	445,5	501,188	528
21	Intervalles par rapport à la tonique	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	32/23 9/8	34/26 81/64	22/3 4/3	3/2	33/24 27/16	35/27 243/128	2
22		En rapport de fréquences (décimal)	1	1,1250	1,2656	1,3333	1,5000	1,6875	1,8984	2
23		En cents	0	204	408	498	702	906	1110	1200
24	Intervalles par rapport à la note précédente	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	32/23 9/8	9/8	28/35 256/243	9/8	9/8	9/8	256/243
25		En rapport de fréquences (décimal)	1	1,1250	1,1250	1,0535	1,1250	1,1250	1,1250	1,0535
26		En cents	0	204	204	90	204	204	204	90

Intervalles entre notes successives

Au lieu de considérer l'intervalle d'une note par rapport au DO de base, donc entre DO et RÉ, puis DO-MI, DO-FA, il est instructif de comparer les intervalles de ces trois gammes entre notes successives DO-RÉ, RÉ-MI, MI-FA etc. On les trouve dans les lignes inférieures du tableau pour chacune des gammes:

• Lignes 15 et 24: en rapports fractionnaires (sans objet pour la gamme tempérée).
• Lignes 7, 16 et 25, en valeur décimale.
• Lignes 8, 17 et 26, les mêmes en cents. Remarquons que si on ajoute les valeurs des intervalles successifs en cents, on obtient bien les valeurs des intervalles par rapport à DO: la ligne 8 donne la 6. La ligne 17 donne la 14 et la ligne 26 donne la 23.

Tons et demi-tons

Même si les notes consécutives sont séparées par des tons et des demi-tons selon un schéma fixe qui est la définition et la fondation même de la gamme majeure, on peut constater que tons et demi-tons varient d'une gamme à l'autre.

Gamme tempérée: un ton = 2 demi-tons

Dans une gamme tempérée, les demi-tons sont obtenus par la division de l'octave en 12 parties égales. Un demi-ton vaut 100 cents et un ton vaut 2 demi-tons, soit 200 cents.

Gamme de Pythagore, un ton et un demi-ton diatonique

Dans la gamme de Pythagore [Remarque de navigation: ne craignez pas de vous rendre au tableau VI en cliquant sur le lien proposé chaque fois que vous avez envie, car vous avez la possibilité de revenir ensuite ici-même en utilisant, dans la barre de menu de votre navigateur, la flèche gauche "Revenir à la page précédente" ou l'équivalent par les touches du clavier], on remarque qu'il y a bien deux sortes d'intervalles, par leurs valeurs exprimées en fraction (ligne 24 du tableau VI) aussi bien qu'en cents (ligne 26): 

• il y a le ton de 9/8 = 204 cents (ton diatonique) et
• le demi-ton de 256/243 = 90 cents (demi-ton diatonique)

Notons bien qu'ici le demi-ton est plus petit que la moitié du ton. Il ne faut pas se laisser influencer par la terminologie.

Gamme de Zarlino, deux sortes de tons - le comma syntonique

Dans la gamme de Zarlino, on obtient trois types d'intervalles, deux valeurs pour le ton et une pour le demi-ton:

• le grand ton de 9/8 = 204 cents est le ton majeur, qui ne signifie pas autre chose que grand ton, que je noterai T. Il est le ton diatonique de la gamme pythagoricienne
• le petit ton de 10/9 = 182 cents est un ton mineur (noté t). La différence entre les deux tons est (10/9)/(9/8)=80/81 ou 22 cents. C'est un comma syntonique (ne pas confondre avec le comma pythagoricien entre DO# et RÉb examiné plus bas).
• le demi-ton de 16/15 = 112 cents, nettement plus grand que celui de la gamme pythagoricienne (90 cents) et que celui de la gamme tempérée (100 cents).

Il apparaît donc clairement que les tons et demi-tons sont variables d'une gamme à l'autre. Mais les différences sont-elles perceptibles à l'oreille? S'il est difficile de percevoir un intervalle de 4 cents, 10 cents sont déjà tout à fait audibles (voir article Sensation sonore: hauteur).

Tierces, quarte et quinte

Ces différences entre tons se retrouvent dans les autres intervalles, qui sont faits de la somme de tons et de demi-tons. De quelle manière?

Gamme tempérée:

La tierce majeure DO-MI vaut un ton + un ton, soit 400 cents
La tierce mineure est l'intervalle MI-SOL, un ton + un demi, qui vaut: 300 cents
Rappelons qu'il existe une symétrie de la quarte et de la quinte dans laquelle un ton de 200 cents, placé au milieu de l'octave, est encadré de deux quartes de 500 cents, ce qui donne une quinte de 700 cents, soit le schéma d'octave:

Gamme pythagoricienne:

Tierce majeure DO-MI: 408 ou 81/64
Tierce mineure MI-SOL: 294 ou 32/27 Cela donne une quarte de 498,
et une quinte de 702.
Les différences avec la gamme tempérée ne sont pas perceptibles à l'oreille.

La symétrie quarte-quinte est respectée, avec le schéma suivant:

Gamme de Zarlino:

Tierce majeure DO-MI: 386 ou 5/4, nettement plus petite, -14 cents par rapport à la gamme tempérée et -22 cents par rapport à la gamme pythagoricienne. C'est l'une des différences les plus importantes avec la gamme de Pythagore et la raison essentielle des modifications de Zarlino.

Tierce mineure MI-SOL: 316 ou 6/5. A l'inverse, elle est plus grande de +16 cents par rapport à la gamme tempérée et + 22 cents par rapport à la gamme pythagoricienne.

On a exactement les mêmes valeurs de la quarte et de la quinte que dans la gamme pythagoricienne: 498 et 702, et donc le même schéma de l'octave:

Pour apprécier la différence entre les tierces, le mieux est d'écouter: successivement la tierce majeure de Zarlino dite juste (386 cents), la tierce majeure tempérée (400), plus grande, et la tierce pythagoricienne (408).

Qu'avez-vous perçu? Vous me direz peut-être qu'il n'y a pas là de quoi en faire tout un article.

Cependant, pour estimer cette différence à sa juste importance, il faut tenir compte de deux phénomènes. Le premier est que la sensibilité de l'oreille a été émoussée par l'habitude d'écouter de la musique tempérée, et peut-être encore plus par une protection contre le monde bruyant dans lequel nous vivons. Le deuxième est que ces différences sont amplifiées par des battements (variations régulières du volume sonore) qui surviennent lorsqu'on produit ensemble des notes qui ne sont pas dans un rapport harmonique. Sous ce point de vue, et selon l'opinion de certains, la gamme tempérée est fausse. Aussi, nous sommes à nouveau dans une période de recherche de l'intonation juste, c'est-à-dire qui respecte le plus possible les intervalles naturels basés sur les harmoniques.

Dans la pratique vocale et instrumentale, ces différences ont des implications que je vais tenter d'examiner. Toutefois, dans le souci d'être complet et d'expliquer certaines notions sur les demi-tons, je fais un passage par la gamme chromatique.

Gamme chromatique, tons et demi-tons

En construisant les gammes majeures nous avons défini 7 notes sur les 12 que comporte l'échelle. Comment fixer les 5 autres notes (à savoir DO#, RÉ#, FA#, SOL# et LA# ou les équivalents avec les bémols), notes qui sont utilisées dans l'exécution musicale comme excursion temporaire en-dehors des notes de base? Le moyen est de généraliser et d'étendre le procédé employé pour les 7 notes de base, ce qui va donner une réponse différente pour chacune des gammes.

Gamme tempérée: tous égaux

Encore une fois, rien de plus simple dans le cas de la gamme tempérée. Un demi-ton est un demi-ton de 100 cents. De cette manière, on place les notes intermédiaires bien au centre du ton. Un DO# et un RÉb sont identiques (tableau VII).

Gamme de Pythagore: 2 demi-tons inégaux

La logique du cycle des quintes qui est à la base de la gamme de Pythagore fournit également les notes chromatiques. Le premier dièse apparaît avec la 6^e quinte construite sur le DO3 qui est le FA#. Le FA# sépare le ton FA-SOL en 2 demi-tons inégaux, FA-FA# et FA#-SOL. Les résultats qui suivent sont synthétisés sur le tableau VII.

Calcul du FA#: Le FA#6 a pour valeur 3⁶/2⁶=729/64 (tableau IV). En le ramenant à l'octave 3, on génère le FA#3: 3⁶/2⁹=729/512.

Les demi-tons chromatiques FA-FA# et SIb-SI

Calcul de l'intervalle FA-FA#: C'est le rapport des valeurs de FA# (3⁶/2⁹) et de FA (2²/3), soit: FA-FA#: 3⁷/2¹¹ ou (729/512)/(4/3) = 2187/2048 = 1,0679 ou encore 114 cents.

La valeur de l'intervalle FA-FA# est de 114 cents. C'est le demi-ton chromatique. Il est plus grand que le demi-ton diatonique (90 cents) que nous connaissons déjà dans la même gamme entre MI et FA, ou SI et DO.

De façon symétrique, le premier bémol apparaît en descendant d'une quinte en dessous de FA2. C'est SIb, d'où on déduit SIb3 qui se positionne entre LA et SI, en créant 2 demi-tons inégaux. L'intervalle entre SIb et SI est également un demi-ton chromatique.

Calcul de l'intervalle SIb-SI: SIb vaut: (2/3)² = 4/9 (tableau IV) donc SIb3 vaut 16/9. L'intervalle entre SIb3 (16/9) et SI3 (243/128) sera: SIb-SI: (243/128)/(16/9) = 2187/2048 ou 3⁷/2¹¹ 

Les demi-tons diatoniques FA#-SOL et LA-SIb

Que reste-t-il comme intervalle entre FA# [valeur 3⁶/2⁹] et SOL [3/2]? On trouve: FA#-SOL = 90 cents [2⁸/3⁵ = 256/243]. C'est demi-ton diatonique que nous avons déjà trouvé entre MI et FA ou SI et DO. On vérifie que l'intervalle LA-SIb est également un demi-ton diatonique.

Ainsi le ton pythagoricien de 9/8 ou 204 cents est la somme d'un demi-ton chromatique de 114 cents et d'un demi-ton diatonique de 90 cents. 

Le demi-ton le plus grand, situé entre 2 notes de même nom (FA et FA#),  est appelé chromatique comme si le dièse ajoute une couleur à la note. Le demi-ton le plus petit est appelé diatonique, mot dans lequel dia- signifie 2, donc "distinct", car il est situé entre deux notes de noms différents (FA# et SOL). Toutefois, l'origine du mot remonte à la distinction entre le système de Pythagore appelé diatonique et celui de Zarlino appelé syntonique.

Tableau VII: Gamme chromatique, valeur des demi-tons

Gamme tempérée
Notes		DO	réb=DO#		Ré	Mib=RÉ#		MI	Fa	Solb=Fa#		Sol
Intervalle par rapport à la tonique	En rapport de fréquences (décimal)	1	1,0595		1,12246	1,18921		1,25992	1,3348	1,41421		1,49830
	En cents	0	100		200	300		400	500	600		700
Intervalles par rapport à la note précédente	En rapport de fréquences (décimal)	1	1,0595		1,0595	1,0595		1,0595	1,0595	1,0595		1,0595
	En cents	0	100		100	100		100	100	100		100
Gamme de Pythagore
Notes		DO	réb	DO#	Ré	Mib	Ré#	MI	Fa	Solb	Fa#	Sol
Intervalle par rapport à la tonique	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1	28/35 256/243	37/211 2187/2048	32/23 9/8	25/33 32/27	39/214 19683/16384	34/26 81/64	22/35 4/3	210/36 1024/729	36/29 729/512	3/2
	En cents	0	90	114	204	294	318	408	498	588	612	702
Par rapport à la note précédente	En rapport de fréquences (fractionnaire)	1		37/211	28/35		37/211	28/35	28/35		37/211	28/35
			28/35		37/211	28/35		37/211		28/35		37/211
	En cents	0	90	24	90	90	24	90	90	90	24	90

Intervalle SOLb-FA#, le comma pythagoricien

En continuant à monter de quinte en quinte, on génère FA#, DO#, SOL#, RÉ#, LA#. En descendant de quinte en quinte, on génère SIb, MIb, LAb, RÉb, SOLb. On obtient des notes extrêmement proches comme FA# et SOLb, ou encore DO# et RÉb. Précisons leur différence, l'intervalle entre un SOLb et un FA#, par exemple. 

Calcul de l'intervalle SOLb-FA#: On connaît FA#: 3⁶/2⁹=729/512.
Pour déterminer SOLb3, on descend de quinte en quinte à partir de FA2: SIb1, MIb1, LAb-1, RÉb-1, puis SOLb-2, qui a pour rapport de fréquence (2/3)⁶=64/729. Pour SOLb3 on remonte de 4 octaves en multipliant par 2⁴. Une autre façon est de descendre le SOL (3/2) d'un demi-ton chromatique (3⁷/2¹¹). Dans les deux cas, on obtient le même résultat: SOLb: 2¹⁰/3⁶=1,4047.
En faisant le rapport des deux: (3⁶/2⁹)/(2¹⁰/3⁶)=3¹²/2¹⁹ soit 531441/524288, ce qui donne:

Intervalle SOLb-FA#: 3¹²/2¹⁹=1,01364. 

C'est cet intervalle entre une note dièsée et sa voisine bémolisée (entre SOLb et FA# par exemple) qui est appelé comma pythagoricien.
1 comma = 3¹²/2¹⁹ = 23,45 cents.

Gamme de Zarlino

La gamme de Zarlino comportant un demi-ton de 16/15 entre SI et DO, il est possible de le reporter dans le ton pour le partager en deux demi-tons inégaux. Cependant, comme il y a deux sortes de tons, l'un majeur (DO-RÉ) et l'autre mineur (RÉ-MI), il y aura deux façons d'effectuer ce partage.

Le grand ton de 9/8 se partage en 16/15 + 135/128. Ou 204 cents = 112 + 92
Pour le petit ton de 10/9: 16/15 + 25/24. Soit encore 182 cents =  112 + 70
On y voit donc 3 demi-tons différents, de 70, 92 et 112 cents.

Tons et demi-tons

Une conclusion importante est que les tons et les demi-tons peuvent prendre plusieurs valeurs. Outre la gamme tempérée sur laquelle je ne reviens pas, nous avons trouvé:

Des tons de 9/8 et 10/9, soit 204 et 182 cents.

Des demi-tons de 2187/2048, 16/15, 256/243, 135/128, 25/24. Exprimés en cents: 114, 112, 92, 90, 70. Bien évidemment, il ne faut pas se laisser piéger par le terme "demi-", vu que le demi-ton ne vaut pas la moitié du ton, sauf dans la gamme à tempérament égal, où il partage le ton en deux parties égales.

La gamme et la sensibilité humaine

Souvent le musicien joue sa gamme sans s'imaginer que la définition des notes suscite tant de réponses différentes. Pourquoi tous ces calculs? Au premier abord, ces préoccupations sur la définition des intervalles paraissent bien cérébrales et loin de l'interprétation. Revenons donc à la sensibilité.

Voici ce qu'en dit le pédagogue E. Willems (voir article L'éducation musicale):

Plusieurs théoriciens ont cru pouvoir expliquer la gamme par un seul système, celui de la quinte par exemple. Mais tous ceux qui ont un tant soit peu approfondi les multiples problèmes de la vie se rendent compte que la gamme est un ensemble très complexe d'éléments divers. Il ne suffit donc pas d'avoir recours exclusivement aux gammes grecques, à des calculs sur les vibrations sonores ou à un rapport unique de quinte pour expliquer sa formation... Lorsque l'être humain chante la gamme, il met à contribution des éléments de trois domaines nettement différents et cela simultanément: 1) la sensibilité physique par laquelle il sent les consonances, les dissonances et les écarts quantitatifs des intervalles; 2) la sensibilité affective, émotive qui lui révèle la valeur qualitative et expressive des intervalles; 3) l'intelligence, l'esprit d'analyse et de synthèse qui lui donne le sens harmonique (extrait de L'oreille musicale).

Lorsque l'artiste chante, il emploie souvent d'instinct une justesse expressive, différente de la justesse naturelle (celle des gammes naturelle ou de Pythagore) et de la justesse tempérée (gamme tempérée). La justesse expressive accentue le caractère attractif, appellatif (ou résolutif) de la note naturelle afin de lui donner une valeur caractéristique bien déterminée, mais variable selon les cas (E. Willems). Ainsi de SI à DO, le demi-ton se réduit parfois à un quart de ton dans certains contextes expressifs, soit parce que le SI est attiré par le DO en DO majeur, soit parce que le DO est attiré par le SI, en LA mineur.

Tempéraments - un compromis entre harmonie et lutherie

Le monde sonore est le reflet de la mentalité d'une époque. La gamme de Pythagore, utilisée au Moyen Âge, correspond exactement à la musique de ce temps qui emploie essentiellement des quintes et des quartes qui sont des intervalles justes, c'est-à-dire, comme on l'a vu, dans un rapport harmonique (ou épimore). Cependant, sa tierce majeure (exemple DO - MI), trop grande, devient gênante lorsqu'on veut  jouer les deux notes ensembles. Des battements se produisent, c'est-à-dire des pulsations du volume sonore. La musique du XVI^e siècle, dans laquelle se répand l'usage de la polyphonie, donne une plus grande importance à la tierce et aux accords parfaits. Aussi, dans la gamme de Zarlino, tandis que la quarte et la quinte restent justes, la tierce majeure DO-MI est réduite pour être ajustée. De plus cette gamme contient 3 accords parfaits majeurs justes. 

Qu'est-ce donc qui a conduit à l'adoption de la gamme à tempérament égal dans notre civilisation des XIX^e et XX^e siècles? Réponse: des considérations  techniques de lutherie.

Aspect pratique instrumental: les changements de tonalités

Historiquement, la recherche de gammes différentes de celles de Pythagore ou Zarlino, comme la gamme à tempérament égal et d'autres à tempérament inégal avant elle, doit beaucoup à la question pratique: comment fabriquer et accorder les instruments pour qu'ils puissent servir les interprètes et les compositeurs le mieux possible? D'une part, comment accorder les cordes des instruments à cordes avant de jouer. D'autre part, et de façon plus contraignante, comment accorder les instruments à sons fixes tel que l'orgue, le piano et les instruments à vent, de façon définitive au moment de leur fabrication. Il faut bien se déterminer! Selon quel critère? Pour les instruments à sons fixes, un problème se pose lorsqu'on veut changer de tonalité. La théorie est simple, mais la réalisation concrète sur un instrument n'est pas évidente.

Si je transpose une mélodie dans la gamme tempérée, il s'agit seulement d'un glissement des intervalles. Dans ce système, il est facile de décaler les mélodies d'un nombre quelconque de tons et demi-tons vers le haut ou vers le bas, et tout va bien, on retrouve exactement le même air. C'est pourquoi ce système est bien adapté aux musiques des 19^e et 20^e siècles qui ont abondamment utilisé les changements de tonalité au point même de faire perdre la notion de tonalité dans la musique contemporaine (voir article Evolution de l'expression musicale occidentale: polyphonie et tonalité).

Cela ne se passe pas aussi simplement dans les autres gammes puisque les intervalles ne sont pas égaux. Pour le démontrer, examinons ce qui se passe dans le cas de la gamme de Zarlino lorsqu'on transpose une mélodie de DO majeur à, par exemple, une tonalité de LA ou RÉ majeur. Soit une mélodie qui commence par une quarte DO - FA (au hasard, La Marseillaise!). Que se passe-t-il si je veux la jouer plus haut, à partir de MI ou de LA par exemple? Les intervalles de quartes comportent deux tons et demi, mais il y a de grandes quartes et de petites quartes selon que les tons sont petits ou grands. L'intervalle de quarte DO-FA, qui vaut 4/3=1,333, est fait d'un grand ton T, d'un petit t et d'un demi-ton d (tableau VI). Si j'évalue cette intervalle de quarte à partir des autres degrés du mode, je trouve de même 4/3 pour RÉ-SOL, MI-LA, SOL-DO, SI-MI. Donc le début de ma mélodie ne changera pas si je la joue plus haut, à partir d'un MI ou d'un SOL. Mais si je la joue à partir d'un LA, la quarte sera plus grande, car la quarte LA-RÉ est faite de TTd (1,350). Donc si je joue  La Marseillaise en DO puis en LA sur un piano accordé selon les valeurs de Zarlino, elle ne sonnera pas pareil dans les deux cas.

Ainsi, si je veux la transposer en conservant la même sonorité, je dois disposer d'un clavier qui ait 2 touches pour le RÉ, l'un élevé à 1,350 du LA pour jouer en DO et l'autre à 1,333 pour jouer en LA. Or je n'ai considéré pour le moment que les quartes. Imaginez ce que cela sera si on considère tous les intervalles. C'est colossal! A titre d'illustration, examinons les quintes qui par définition ont trois tons et demi: de DO à SOL, MI à SI, FA à DO, SOL à RÉ et LA-MI, leur valeur est 3/2=1,5, et elles sont composées de TTtd (voir tableau VI). Mais la quarte de RÉ à LA est plus petite car elle vaut Tttd ou 40/27=1,48. Il me faudrait donc également 2 touches pour le LA. Examiner les tierces serait également instructif. Je vous en laisse le soin.

A partir du 16^e siècle, on a tenté de construire des instruments à clavier qui avaient un nombre plus important de touches, avec des notes proches l'une de l'autre d'un comma, par exemple un DO# et un RÉb. Mais cela complique beaucoup le jeu de l'interprète, et cela n'a pas perduré. Toutefois, à cause du besoin actuel de retrouver une intonation juste, cette recherche est à nouveau bien vivante, avec une technologie et une approche différentes. Le guitariste D. Aschour joue sur une guitare dont le manche possède des frettes interchangeables en intonation juste.

Décaphone Surak-Nat-Buzurg
J. Dudon (1997)
pour le guitariste Didier Aschour
Ensemble de Musique Microtonale du Thoronet
(de la corde ré : 1/1 13/12 8/7 26/21 55/42 39/28 3/2 34/21 12/7 13/7)
Recherches menées sous l'impulsion de Jacques Dudon

L'autre solution est de faire des compromis: abandonner l'idée de touches multiples pour une même note, et admettre de jouer ces notes très proches non dans leur intonation harmonique, mais dans une intonation approchée. Dans ce cas, comme je l'ai montré plus haut, le changement de tonalité sera accompagné d'un changement de grandeur des intervalles. Cela explique que des airs sonnent différemment selon qu'ils sont interprétés dans une tonalité ou une autre. Cela explique également qu'on attribuait à chaque tonalité un caractère, une ambiance différente. Ce n'est pas le cas avec une gamme tempérée où toutes les tonalités sont identiques.

Tempérament égal et tempéraments inégaux

Or si j'attribue à différentes notes proches la même touche, à quelle valeur vais-je l'accorder? Je vais choisir une moyenne entre ces notes. Les différentes façons de choisir ou calculer cette moyenne pour chacune des notes d'une gamme constituent les tempéraments. 

Le problème peut être posé mathématiquement de la façon suivante. Si l'on monte d'octave en octave, on retrouve la même note à chaque niveau d'octave, par définition de l'octave (voir article Sensation sonore: hauteur). Or, si on monte de quinte en quinte comme on le fait dans la gamme pythagoricienne, en conservant le même intervalle de quinte juste (3/2), on ne retombe pas sur la même note. Il n'y a pas de raison a priori de retrouver la même note par les deux chemins. En effet, à la douzième quinte, on trouve presque le DO de la septième octave. La septième octave, c'est 2⁷=128 et la douzième quinte est (3/2)¹² =129,75. La différence en rapport de fréquences est: 3¹²/2¹⁹. On retrouve exactement le comma pythagoricien. En fait, c'est là son origine, son acte de naissance.

Il faut faire en sorte d'éliminer cette différence en accordant les touches, sinon soit l'octave sonne faux, soit la quinte. Il existe plusieurs types de réponses, qui définissent plusieurs types de tempéraments. Qu'est-ce donc qu'un tempérament? Le tempérament, c'est la manière de répartir cette différence d'un comma sur l'ensemble des notes, de façon équilibrée sur tous ou partie des intervalles, de sorte que les octaves restent justes et que les quintes (définies par l'harmonique 3 - voir tableau II), puis les tierces (définies par l'harmonique 5), puis les intervalles d'harmoniques supérieures, le soient le plus possible.

Il existe de nombreux types de tempérament inégal qui ont été inventés pour permettre d'accorder les instruments à sons fixes. Ils tentent de favoriser la justesse des intervalles les plus fréquents. Ainsi, lorsque Bach écrit pour le clavecin bien tempéré, il ne parle pas de tempérament égal, mais d'autres qui avaient sa faveur (pour les spécialistes, Werckmeister III ou Kirnberger II). Pour plus de détails sur les différentes sortes de tempéraments, se reporter à des articles plus techniques (par exemple Gammes et tempéraments ou Les tempéraments).

Dans le système tempéré égal, le comma est réparti de la même façon sur toutes les notes. La quinte s'en trouve donc diminuée, et la tierce augmentée, comme on l'a vu dans le tableau récapitulatif. La gamme tempérée a supplanté le tempérament inégal pour répondre au problème pratique de changement de tonalité qui devenait crucial au XVIII^e siècle pour les instruments à clavier, en évitant d'ajouter des touches. C'est l'époque du succès de la modulation, de la transposition et de la polyphonie instrumentale.

L'intonation juste - la recherche de la meilleure harmonie

Finalement, quel est l'enjeu de tout cela? Seulement un problème pratique de lutherie? Cela semble bien banal et circonstanciel, et facile à dépasser par un développement technique. La question qui se pose de façon plus cruciale est que l'utilisation de la gamme tempérée a habitué notre oreille à cette intonation, tandis que les musiques traditionnelles et populaires utilisent des systèmes basés sur l'intonation juste.

Car le problème est plus profond que quelques dispositions pratiques concernant les instruments. Il est dans notre sensibilité auditive aux subtilités des intervalles. Il est dans le choix d'un univers sonore. Il est dans la question de l'incidence de cet univers sur notre bien-être.

L'oreille exercée est sensible aux variations subtiles des intervalles

Le physicien Helmholtz, promoteur de la gamme naturelle de Zarlino, indiquait combien la musique ancienne était altérée par la gamme tempérée. "Les particularités de la gamme naturelle se manifestent surtout dans l'ancienne musique italienne de Palestrina, Vittoria, Gabrieli et leurs contemporains. Ces oeuvres réclament les consonances les plus justes parce qu'elles n'obtiennent les nuances les plus délicates de l'harmonie que par le renversement des accords, l'alternance des accords majeurs et mineurs, et un petit nombre de dissonances formées par des retards. Exécutées dans la gamme tempérée, elles perdent tout sens et toute expression, tandis que, grâce à l'emploi de la gamme naturelle, elles produisent sur l'harmonium un bon effet" (Helmholtz cité par O. Bettens).

On pourrait penser que l'interprétation dans la gamme tempérée ne concerne pas le chanteur, qui peut ajuster sa voix à toutes sortes d'intervalles à volonté. Il peut commencer sa mélodie sur n'importe quelle note et conserver tous ses intervalles justes par glissement. Il en est de même pour les instruments à cordes sans frettes tels que les violons. Toutefois, les interprètes sont plongés dans la culture de la gamme tempérée, sont accompagnés d'instruments à sons fixes et leurs oreilles sont conditionnées. Aussi, continue O. Bettens, "Helmholtz ajoute que les chanteurs sont incapables de chanter "de manière à donner à l'auditeur ce bien-être complet qui résulte d'une parfaite harmonie", ce qu'il attribue à l'influence néfaste des pianos accordés au tempérament égal avec lesquels ils s'exercent".

De son côté, au cours de ses recherches sur l'interprétation du chant chrétien antique, le chercheur et musicien Iégor Reznikoff a fait l'expérience d'un déconditionnement total de l'oreille. "D'excellents musiciens restent perplexes quand on leur dit que l'accord actuel du piano est faux, et qu'on le leur fait entendre. J'en ai fait personnellement l'expérience quand je me suis mis à travailler la musique antique et le répertoire occidental ancien. Pour mieux approcher cette musique, j'ai non seulement arrêter de jouer du piano et de faire des concerts de musique de chambre ou de chanter dans des chorales, mais pendant longtemps je me suis abstenu d'écouter de la musique occidentale, n'écoutant que des musiques dont on peut être sûr quant à la rigueur de la transmission orale, de la musique sacrée au sens strict du terme et remontant aux traditions les plus anciennes - la nuit des temps - et sur lesquelles, en tout cas, aucune musique récente n'avait eu d'influence. Je n'écoutais que de ces musiques et ne travaillais que la résonance harmonique d'une corde. Alors peu à peu, au bout de neuf mois de cette ascèse, l'oreille se déconditionne, une physiologie plus fine  réapparaît, un nuage se lève, on peut entonner des intervalles justes, les varier d'un comma... Ce fut avec la très célèbre Symphonie en sol mineur n°40 de Mozart que je repris contact avec la musique occidentale. Expérience inoubliable, tout me parut faux d'un bout à l'autre..." (I. Reznikoff, Entrer dans la résonance).

Le choix d'un univers sonore

La musique contemporaine s'est complètement affranchie de la définition classique d'un mode. Il devient permis de sélectionner n'importe quel son du continuum sonore et d'inventer tous les intervalles possibles (voir article Evolution de l'expression musicale occidentale: polyphonie et tonalité). C'est comme si les échelons, auparavant bien marqués sur l'échelle de l'octave évoquée au début de l'article, avaient été remplacés par des crochets coulissants qu'on peut insérer où l'on veut et avec le nombre qu'on veut. Cette recherche est très facilitée par des appareillages électroniques où les caractéristiques des sons, hauteur, volume, timbre, dynamique, sont ajustables à volonté (voir article Sensations sonores).

Nous ne sommes pas contraints à l'emploi de la gamme tempérée et nous pouvons libérer notre esprit des habitudes et des idées toutes faites. Il était probablement nécessaire que les compositeurs poussent la recherche et l'audace jusqu'à l'éclatement de la gamme tempérée, afin de faire germer une nouvelle connaissance et une conscience accrue du monde sonore.

Cependant, à cette phase d'acquisition de liberté, en succède une autre, celle du choix. Faire éclater les coquilles de l'ancien, d'accord, mais pour construire quel monde?

"Le choix d'un tempérament n'est pas réductible au problème d'accord instrumental qui lui a donné naissance. Le choix d'un tempérament est le choix d'une échelle sonore. C'est l'acte primordial par lequel les musiciens établissent une collection de sons discontinus prélevés dans un continuum sonore qui nous entoure, ensemble de sons que régit une loi mathématique. C'est le premier moment de l'organisation musicale, l'instauration d'un paradigme harmonique, dont toute la musique ensuite est dérivée" (M. Texier).

"Un exemple quasi-général de confusion a comme origine les micro-intervalles générés par différentes coïncidences naturelles inévitables entre les harmoniques, de type comma... Avec les notes doubles qu'ils mettent en valeur, il importe de pouvoir en discerner l'existence, la place et le rôle dans toute échelle musicale. La négation de ces commas recherchée pour limiter le nombre de notes par octave d'un système simplifie les instruments et le jeu instrumental, mais a pour effet un appauvrissement harmonique du modèle naturel et une perte de son sens et de sa résonance... La confusion ici ne vient pas des musiques, mais de l'incapacité de certains théoriciens, à certaines époques, à rendre compte des réelles pratiques des musiciens ou à saisir la complexité naturelle des relations harmoniques entre les sons, enfin des luthiers à faire des instruments nécessaires pour créer de meilleures situations d'écoute et de transmission... Il ne peut y avoir en même temps simplification de la division de l'octave et consonance, c'est-à-dire simplicité harmonique. Tout système d'intonation propose un choix. C'est l'éternel débat entre les pythagoriciens et les aristoxéniens, entre le son et la forme, la justesse et l'orchestration, la modalité et la modulation, le timbre et la virtuosité, la tampura et le clavier, l'Orient et l'Occident... Là où il y a confusion, c'est aussi parce qu'il existe des passerelles entre différents mondes, et donc une harmonie potentielle.." (J. Dudon: La confusion des genres: tentatives de résolution, Colloque "Autour de l'harmonie", Carcès, France, 15-16/10/2004). 

Résonances corporelles

Lorsqu'elle fait l'expérience du silence, l'oreille retrouve une sensibilité accrue qui lui permet d'entrer dans des mondes plus subtils. Il est alors plus facile de sentir et de discerner ce qui fait du bien ou ce qui agresse et dérange. Et l'on peut constater que parfois, lorsque les êtres humains se sont coupés de leur nature profonde, et qu'ils ne sont plus reliés au coeur et au corps comme cela se produit dans la civilisation occidentale contemporaine matérialiste, l'expérimentation peut accoucher de monstres. Certaines musiques morcèlent et détruisent les personnes (voir article Musicothérapie). D'autres musiques, y compris des musiques tout à fait actuelles, font du bien quand on les écoute. Elles harmonisent et réunifient l'être. Elles sont accordées aux lois physiologiques et psychiques qui ne dépendent pas de la culture, mais sont inscrites profondément dans la constitution de l'être humain, elle-même construite selon des lois cosmiques (voir article Les corps subtils et les chakras). La vérité est dans la résonance intérieure.

Qu'est-ce donc que cette résonance? La résonance avec notre coeur, notre âme, et notre corps. Lorsqu'un théoricien propose un nouveau monde sonore, celui-ci ne se développe et ne se répand que s'il plaît, s'il procure une jouissance, autrement dit s'il résonne avec notre être intérieur. Or il n'y a pas que l'oreille qui perçoive les sons, car le corps les reçoit, les enregistre et réagit même si l'oreille ne perçoit pas. Dans l'eau, on entend parfaitement les sons même en se bouchant les oreilles, expérience que propose F. Louche dans sa recherche sur l'écoute active. Or ces sons s'étagent à des endroits précis du corps et agissent sur les circuits nerveux et les organes (voir article Résonances sonores corporelles). Certains, tels Pythagore, Platon, Képler ou le Rig Veda indien, ont démontré les rapports de la musique avec le cosmos. Leur quête était de créer une musique qui soit en accord avec l'être humain (le microcosme) et l'univers (le macrocosme). Le cosmos comme l'être humain sont bâtis selon des rapports privilégiés qui fondent ce qu'on appelle la géométrie sacrée (voir article La géométrie sacrée). C'est pourquoi l'homme se sent intuitivement relié à la nature, aux étoiles, à l'ordre universel.

Au siècle dernier, des théoriciens ont tenté de retrouver cette correspondance entre les notes et le cosmos de façon très concrète en utilisant les connaissances métriques de l'astronomie. Par exemple Derénéaz a étudié les distances des planètes au soleil (en prenant la moyenne entre le périhélie et l'aphélie) et leurs correspondances avec les fréquences des notes de la gamme majeure (dans La gamme, ce problème cosmique). Exemple: si l'on prend une corde sonore comme unité de longueur représentant la distance Soleil-Terre, et que l'on y place un chevalet correspondant aux distances Neptune-Uranus, Uranus-Saturne et Saturne-Jupiter, on obtient les intervalles DO-RÉ, MI-FA (plus de précisions dans le document Harmonie des Sphères). Cette correspondance me semble très mentale et alambiquée. Par exemple comment et pourquoi prendre la moyenne, pourquoi le périhélie et l'aphélie? Toutefois, il est probable que l'harmonie des sphères existe bel et bien, mais n'est plus perçue dans sa vraie dimension, qui se trouve à un autre niveau, plus vibratoire, plus symbolique. Ainsi certains yogis entendent des sons intérieurs, tout en ayant la sensation d'être unis au jeu de l'univers. On trouve l'univers en soi.

Oui, nous éprouvons le besoin de retrouver un nouvel espace harmonique, basé sur les résonances naturelles. Depuis quelques années, on revient à l'écoute des gammes naturelles. Le succès de la musique baroque reconstituée dans son authenticité, et celui des musiques extra-européennes y ont beaucoup contribué. Ce mouvement a également bénéficié de la vulgarisation du chant diphonique qui exploite le renforcement sonore des sons harmoniques (voir article Sensations sonores: timbre) et par les études dans l'interprétation musicale et vocale de pionniers tels que Iégor Reznikoff et Jacques Dudon. J. Dudon (Atelier d'exploration harmonique) a mis au point des appareils qui produisent des sons à partir de disques sur lesquels sont imprimés des graphiques aux formes géométriques et symétriques (voir article Son et formes). Pour I. Reznikoff:

"Parlant de l'intonation juste, Paul Hindemith disait - affirmation remarquable pour un musicien du XX^e siècle -  que celui qui a le sens de cette intonation possède une dimension supplémentaire, et donc un compréhension autre de la Musique... Cette approche suppose une écoute autre, une perception fine que seules l'intonation et la consonance justes permettent. Il se passe alors des phénomènes à un niveau subtil dans la mesure où le son agit en des points précis du corps, sur des centres essentiels et sur la conscience profonde, suivant des circuits énergétiques à la perception desquels nous ne sommes pas habitués normalement" (I. Reznikoff, L'intonation juste).

"Le chant sacré - en rapport donc avec le monde de l'Esprit - dans toute sa vérité modale antique est bâti sur les principes de résonance naturelle et d'action des syllabes sur divers lieux du corps évoqués plus haut et développe ces principes de façon rigoureuse afin d'agir sur le son, science profonde, en transmettant, par leurs caractéristiques et impression sonore propres, des états de concentration, de contemplation, de prière, des états de paix, d'appel à Dieu, de joie de la Présence Divine, d'attente... suivant le temps et le moment liturgiques" (I. Reznikoff, Musique grecque antique, byzantine et traditionnelle).

Willems synthétise l'ensemble de ces considérations: "Notre gamme diatonique reste un mystère, malgré toutes les explications données. La raison en est qu'elle touche à la fois à des éléments cosmiques et humains. Voici les principaux facteurs qui ont influencé la constitution de la gamme:

1. certaines lois physiques du son, particulièrement celle des harmoniques
2. les instruments tels que le piano, l'orgue, le clavecin qui ont poussé l'être humain à rechercher des normes (gamme tempérée) permettant de jouer dans toutes les tonalités
3. la voix humaine qui a choisi l'intervalle d'un ton comme premier pas dans la succession des sons chantés
4. les tendances affectives qui ont poussé au choix de certains intervalles comme la tierce mineure, la septième majeure
5. les calculs mathématiques
6. les considérations astronomiques et cosmiques
7. l'influence de l'harmonie qui, à partir du XVI^e siècle, s'est imposée à l'ensemble des sons choisis pour notre gamme" (E. Willems, L'oreille musicale).

En savoir plus

Je ne prétends pas être un expert des gammes, mais plutôt un traducteur d'un domaine un peu technique, dans un langage abordable, si possible par le moyen de l'écoute et du ressenti. Il se peut qu'il subsiste des erreurs.

Si cet article a éveillé votre curiosité et que vous voulez en savoir encore plus, vous pouvez (ou pourrez bientôt) consulter les documents en ligne suivants:

Dossier Musique et Sons dans ce site

• Sensations sonores, Une approche sensorielle des qualités physiques et musicales des sons.
  1. Hauteur et fréquence
  2. Intensité
  3. Timbre et harmoniques
• Le phénomène sonore: Nature et perception: quelle est la nature vibratoire du son, comment est-il émis, comment se propage-t-il? Par quel mécanisme est-il capté, entendu et perçu par le cerveau?
• Modes et gammes
  
  1. Nature et constitution. Les gammes et les modes sont construits sur des intervalles caractéristiques très variés. 
  2. Défilé de modes. De la manière d'arranger ces intervalles à l'intérieur d'une octave. Exemples sonores. Modes pentatoniques et heptatoniques. Gammes occidentales, tziganes, indiennes, contemporaines, etc.
  3. Le ton et l'intonation juste. La gamme tempérée a succédé à d'autres gammes, telles que les gammes pythagoriciennes et la gamme de Zarlino. L'essentiel réside dans l'effet sonore qui résulte de la gamme et comment elle résonne et agit sur le corps.
• Évolution de l'expression musicale occidentale du Moyen-Âge à nos jours. Polyphonie et tonalité: Émergence et transformations.
• Résonances sonores corporelles: le son résonne dans tout le corps
• Le son et les formes: les formes créent des sons et les sons créent des formes
• L'éducation musicale selon Willems: L'éducation musicale doit collaborer au plein épanouissement des facultés humaines.
• Musicothérapie

Articles en libre accès sur Internet

• A propos des gammes, D. Beaufils et M. Grente, Institut National de Recherche Pédagogique, Lyon, France
• Les tempéraments, échelles sonores, micro-intervalles, par Marc Texier. Explique le sens et l'importance du tempérament et son évolution.
• Gammes et tempéraments, Encyclopédie libre Wikipedia
• La justesse, par Aurélien Dolbecq
• Intonation juste à la Renaissance, par Olivier Bettens. Article fouillé sur Zarlino, mais très technique et spécialisé
• Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony, un article en anglais très complet pour les spécialistes
• Pythagore, Wikipedia
• Harmonie des sphères, Wikipedia
• Les Vers dorés de Pythagore, traduction Fabre d'Olivet

Pratique de l'intonation et de l'écoute

• L'Atelier d'Exploration Harmonique, Jacques Dudon
• Art de l'écoute, Méthode François Louche
• Chant chrétien antique occidental, par Iégor Reznikoff. On y trouve les articles: Entrer dans la résonance; Musique grecque, byzantine et traditionnelle; L'intonation juste et l'interprétation de la musique ancienne
• Just intonation network, un réseau, une bibliographie, mais peu de documentation disponible

Ouvrages et articles imprimés sur papier

• Diapason article dans Encyclopaedia Universalis
• Gamme, article dans Encyclopaedia Universalis
• L'oreille musicale, Edgar Willems, Editions Pro Musica
• Essai sur le rythme, Matila Ghyka, Gallimard/NRF, 1938
• Les Grands Initiés, Édouard Schuré, Pocket. Rama, Krishna, Hermès, Moïse, Orphée, Pythagore, Platon, Jésus
• Pythagore et les mystères, Jean Mallinger, Publi-Nord, 1974

17 janvier 2006 - révision 7 novembre 2006